[论文解读] History-state Hamiltonians are critical

Carlos E. González-Guillén, Toby S. Cubitt|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

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一句话总结

本文证明了所有用于在其基态中编码量子计算的历史态哈密顿量——必须是临界性的，即其能谱间隙随系统尺寸 $n$ 的增大至少以 $O(1/n)$ 的速率闭合。该结果表明，若要实现具有能隙的 QMA-难问题或在绝热量子计算中实现 BQP-完全性，可能需要超越历史态构造的技术，因为此类构造在热力学极限下必然导致间隙消失。

ABSTRACT

All Hamiltonian complexity results to date have been proven by constructing a local Hamiltonian whose ground state -- or at least some low-energy state -- is a "computational history state", encoding a quantum computation as a superposition over the history of the computation. We prove that all history-state Hamiltonians must be critical. More precisely, for any circuit-to-Hamiltonian mapping that maps quantum circuits to local Hamiltonians with low-energy history states, there is an increasing sequence of circuits that maps to a growing sequence of Hamiltonians with spectral gap closing at least as fast as O(1/n) with the number of qudits n in the circuit. This result holds for very general notions of history state, and also extends to quasi-local Hamiltonians with exponentially-decaying interactions. This suggests that QMA-hardness for gapped Hamiltonians (and also BQP-completeness of adiabatic quantum computation with constant gap) either require techniques beyond history state constructions. Or gapped Hamiltonians cannot be QMA-hard (respectively, BQP-complete).

研究动机与目标

• 确定历史态哈密顿量在热力学极限下是否可以具有能隙，或是否必然为临界性。
• 分析通过线路到哈密顿量映射构造的、具有低能量历史态的哈密顿量的能谱间隙行为。
• 确立任何此类构造的能谱间隙必须至少以 $O(1/n)$ 的速率闭合，无论历史态的具体形式或相互作用结构如何。
• 将结果扩展至具有指数衰减相互作用的准局部哈密顿量，从而扩大临界性结果的适用范围。
• 挑战通过绝热量子计算实现具有常数能谱间隙的 QMA-难问题或 BQP-完全性的可行性，鉴于历史态构造本质上是临界性的。

提出的方法

• 通过线路到哈密顿量映射定义一类通用的历史态哈密顿量，其中基态以时间的叠加形式编码量子计算的历史。
• 引入一个归一化条件，确保每个量子位的总相互作用强度有界，从而防止通过复制或插入辅助比特导致能谱间隙被人为放大。
• 利用单位矩阵群上的测度集中性技术以及随机量子线路，对局部算符矩阵元的大偏差概率进行上界估计。
• 应用单位矩阵 $s$-设计和哈尓测度集中性结果，实现从单位矩阵群集中性到随机线路集中性的过渡。
• 在局部哈密顿量项的空间上构造一个网，并应用并集界以控制所有相关算符中的最大偏差。
• 通过证明：若能谱间隙为常数，则与随机线路模型导出的集中性界矛盾，从而证明能谱间隙必须至少以 $O(1/n)$ 的速率闭合。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在任何历史态哈密顿量构造，可在热力学极限下维持常数能谱间隙？
• RQ2 随着系统尺寸增大，历史态哈密顿量的能谱间隙最小可能以何种速率闭合？
• RQ3 历史态哈密顿量的临界性是否排除了具有能隙的哈密顿量实现 QMA-难问题的可能性？
• RQ4 若历史态构造本质上是临界性的，绝热量子计算能否通过常数能谱间隙实现 BQP-完全性？
• RQ5 是否存在替代历史态的构造方式，可产生具有能隙且 QMA-难的哈密顿量？

主要发现

• 所有历史态哈密顿量的能谱间隙必须至少以 $O(1/n)$ 的速率随量子位数 $n$ 闭合，无论具体的线路到哈密顿量映射形式如何。
• 在对每个量子位的相互作用强度施加最小归一化条件的前提下，该临界性对具有指数衰减相互作用的局部和准局部哈密顿量均成立。
• 该结果表明，仅通过历史态构造无法实现具有能隙的哈密顿量的 QMA-难问题，除非发展出新技术。
• 能谱间隙的闭合速率与历史态的具体形式或相互作用图无关，只要满足归一化条件即可。
• 历史态哈密顿量的临界性表明，除非采用替代的基态编码方式，否则常数间隙的绝热量子计算可能无法实现 BQP-完全性。
• 该分析排除了通过复制项或添加辅助比特等平凡的间隙放大策略，否则这些策略可能人为地放大间隙。