[论文解读] Hitchin's equations on a nonorientable manifold

Nan-Kuo Ho, Graeme Wilkin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文通过利用可定向双重覆叠，将希钦方程与模空间理论推广至非可定向流形。它建立了非可定向流形上希钦模空间与由覆叠变换诱导的对合作用下超凯勒模空间的固定点集之间的同胚关系，同时保持了诸如辛几何与超凯勒几何等关键几何结构。

ABSTRACT

We define Hitchin's moduli space for a principal bundle $P$, whose structure group is a compact semisimple Lie group $K$, over a compact non-orientable Riemannian manifold $M$. We use the Donaldson-Corlette correspondence, which identifies Hitchin's moduli space with the moduli space of flat $K^\mathbb{C}$-connections, which remains valid when M is non-orientable. This enables us to study Hitchin's moduli space both by gauge theoretical methods and algebraically by using representation varieties. If the orientable double cover $ ilde{M}$ of $M$ is a Kähler manifold with odd complex dimension and if the Kähler form is odd under the non-trivial deck transformation on $ ilde{M}$, Hitchin's moduli space of the pull-back bundle $ ilde{P}$ over $ ilde{M}$ has a hyper-Kähler structure and admits an involution induced by the deck transformation. The fixed-point set is symplectic or Lagrangian with respect to various symplectic structures on Hitchin's moduli space over $ ilde{M}$. We show that there is a local diffeomorphism from Hitchin's moduli space over (the nonorientable manifold) $M$ to the fixed point set of the Hitchin's moduli space over (its orientable double cover) $ ilde{M}$. We compare the gauge theoretical constructions with the algebraic approach using representation varieties.

研究动机与目标

• 为紧致非可定向黎曼流形上的主丛定义并研究希钦模空间。
• 将唐纳森-科雷莱特对应关系推广至非可定向情形，证明希钦模空间与平坦复连接的德雷姆模空间同胚。
• 分析可定向双重覆叠上的模空间的超凯勒几何及其在覆叠变换下的固定点集。
• 通过表示簇比较规范理论构造与代数方法。
• 识别在非可定向流形上将 $ PG $-丛提升为 $ G $-丛时的拓扑障碍（通过 $ Z(G)/2Z(G) $ 中的元素）。

提出的方法

• 为紧致非可定向流形 $ M $ 上的主 $ K $-丛 $ P \to M $ 定义希钦模空间 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $，基于希钦方程的解模去规范变换。
• 利用唐纳森-科雷莱特对应关系，建立 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ 与德雷姆模空间 $ \mathcal{M}^{\mathrm{dR}}(P^{\mathbb{C}}) $ 之间的同胚关系，即使 $ M $ 为非可定向流形也成立。
• 将丛 $ P \to M $ 提升至其可定向双重覆叠 $ \tilde{M} $，得到 $ \tilde{P} \to \tilde{M} $，并研究模空间 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $，当 $ \tilde{M} $ 为奇复维数的凯勒流形时，该模空间继承超凯勒结构。
• 引入 $ \tilde{M} $ 上的对合 $ \tau $，诱导 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $ 上的作用，并分析固定点集 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $，其在超凯勒凯勒形式下为辛或拉格朗日子流形。
• 构造从 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ 到 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $ 的局部微分同胚，建立非可定向流形与双重覆叠模空间之间的直接几何联系。
• 利用表示簇与单值表示刻画平坦连接，识别出在 $ M $ 上将 $ PG $-丛提升为 $ G $-丛时在 $ Z(G)/2Z(G) $ 中的障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 希钦方程及其模空间能否在非可定向流形上有意义地定义？
• RQ2 当底流形为非可定向时，希钦模空间与平坦连接的德雷姆模空间之间的唐纳森-科雷莱特对应关系是否仍然成立？
• RQ3 在可定向双重覆叠上，模空间继承了哪些几何结构（如超凯勒、辛）？它们在覆叠变换下如何表现？
• RQ4 非可定向流形上的模空间与它的双重覆叠上模空间的固定点集之间有何关系？
• RQ5 在尝试将非可定向流形上的 $ PG $-丛提升为 $ G $-丛时，会出现哪些拓扑障碍？

主要发现

• 希钦模空间 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ 对紧致非可定向黎曼流形上的主 $ K $-丛有良好定义，其解为希钦方程模去规范变换。
• 唐纳森-科雷莱特对应关系在非可定向流形上成立，建立了 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ 与德雷姆模空间 $ \mathcal{M}^{\mathrm{dR}}(P^{\mathbb{C}}) $ 之间的同胚关系。
• 当可定向双重覆叠 $ \tilde{M} $ 为奇复维数的凯勒流形且凯勒形式在覆叠变换 $ \tau $ 下为奇性时，模空间 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $ 拥有超凯勒结构。
• 对合 $ \tau $ 在 $ \tilde{M} $ 上提升为 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P}) $ 上的作用，其固定点集 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $ 在超凯勒凯勒形式下为辛或拉格朗日子流形。
• 存在从 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(P) $ 到 $ \mathcal{M}^{\mathrm{Hitchin}}(\tilde{P})^{\tau} $ 的局部微分同胚，建立了非可定向流形与双重覆叠模空间之间的直接几何联系。
• 对于非可定向曲面 $ M = \varSigma $，将 $ PG $-丛提升为 $ M $ 上的 $ G $-丛的障碍由 $ Z(G)/2Z(G) $ 中的一个元素分类，该元素源于双重覆叠上 $ G $-丛的单值性。