[论文解读] Hitting minors on bounded treewidth graphs

Julien Baste, Ignasi Sau+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 44被引用 14

一句话总结

本论文为有界树宽图上的 ${\cal F}$-M-Deletion 问题建立了紧致的参数化复杂度界限，表明在一般情况下运行时间为 $2^{2^{O(tw\log tw)}}$，当 ${\cal F}$ 中所有图均连通且至少有一个为平面图时为 $2^{O(tw\log tw)}$，当输入图为平面图或嵌入曲面时为 $2^{O(tw)}$。对于单图族 ${ H\u007d$，给出了紧致的二分法：若 $H$ 是旗帜图（不包括 $P_5$）的子式，则为 $2^{\Theta(tw)}$，否则为 $2^{\Theta(tw\log tw)}$。所有下界在 ETH 下均成立。

ABSTRACT

For a fixed collection of graphs ${\cal F}$, the ${\cal F}$-M-Deletion problem consists in, given a graph $G$ and an integer $k$, decide whether there exists $S \subseteq V(G)$ with $|S| \leq k$ such that $G \setminus S$ does not contain any of the graphs in ${\cal F}$ as a minor. We are interested in its parameterized complexity when the parameter is the treewidth of $G$, denoted by $tw$. Our objective is to determine, for a fixed ${\cal F}$, the smallest function $f_{\cal F}$ such that ${\cal F}$-M-Deletion can be solved in time $f_{\cal F}(tw) \cdot n^{O(1)}$ on $n$-vertex graphs. We prove that $f_{\cal F}(tw)=2^{2^{O(tw\log tw)}}$ for every collection ${\cal F}$, that $f_{\cal F}(tw)=2^{O(tw\log tw)}$ if all the graphs in ${\cal F}$ are connected and at least one of them is planar, and that $f_{\cal F}(tw)=2^{O(tw)}$ if in addition the input graph $G$ is planar or embedded in a surface. When ${\cal F}$ contains a single connected planar graph $H$, we obtain a tight dichotomy about the asymptotic complexity of $\{H\}$-M-Deletion. Namely, we prove that $f_{\{H\}}(tw)=2^{\Theta(tw)}$ if $H$ is a minor of the banner (that is, the graph consisting of a $C_4$ plus a pendent edge) that is different from $P_5$, and that $f_{\{H\}}(tw)=2^{\Theta(tw\log tw)}$ otherwise. All the lower bounds hold under the ETH. We also consider the version of the problem where the graphs in ${\cal F}$ are forbidden as topological minors, and prove similar results, except that, in the algorithms, instead of requiring ${\cal F}$ to contain a planar graph, we need it to contain a subcubic planar graph. We also prove that, for this problem, $f_{\{K_{1,i}\}}(tw)=2^{\Theta(tw)}$ for every $i \geq 1$, while for the minor version it holds that $f_{\{K_{1,i}\}}(tw)=2^{\Theta(tw\log tw)}$ for every $i \geq 4$.

研究动机与目标

• 确定最小函数 $f_{\cal F}(tw)$，使得 ${\cal F}$-M-Deletion 可在 $n$ 个顶点、树宽为 $tw$ 的图上以时间 $f_{\cal F}(tw) \cdot n^{O(1)}$ 求解。
• 对不同类别的禁止子式 ${\cal F}$，刻画该问题的参数化复杂度，特别是与平面性和连通性的关系。
• 针对单个连通平面图 $H$ 的情形 ${\cal F} = \{H\}$，建立紧致的渐近界限，识别出基于 $H$ 是否为旗帜图的子式（不包括 $P_5$）的二分法。

提出的方法

• 在树宽为 $tw$ 的树分解上开发动态规划方法，利用子式封闭族的结构特性。
• 利用树宽理论和子式排除理论，限制动态规划表中相关状态的数量。
• 通过从已知难解问题的归约，应用指数时间假设（ETH）建立下界。
• 引入对禁止子式的结构分析，特别关注旗帜图及其子式，以推导出紧致的复杂度阈值。
• 区分子式包含与拓扑子式包含，相应调整算法技术。
• 在拓扑子式情形下，区分子立方平面图与一般平面图，需更强的结构假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 ${\cal F}$-M-Deletion 在树宽为 $tw$ 的图上的精确参数化时间复杂度是什么，参数为 $tw$？
• RQ2 当 ${\cal F}$ 中所有图均连通且至少有一个为平面图时，复杂度如何变化？
• RQ3 当 $H$ 为单个连通平面图时，$\{H\}$-M-Deletion 的精确复杂度阈值是什么？其依赖于 $H$ 是否为旗帜图的子式（不包括 $P_5$）？
• RQ4 在参数化设置下，子式包含与拓扑子式包含的复杂度有何不同？
• RQ5 平面性和曲面嵌入在降低树宽的指数依赖性方面起到什么作用？

主要发现

• 对于任意固定的 ${\cal F}$，问题 ${\cal F}$-M-Deletion 可在 $n$ 个顶点、树宽为 $tw$ 的图上以时间 $2^{2^{O(tw\log tw)}} \cdot n^{O(1)}$ 求解。
• 若 ${\cal F}$ 中所有图均连通且至少有一个为平面图，则复杂度降低为 $2^{O(tw\log tw)} \cdot n^{O(1)}$。
• 若输入图为平面图或嵌入曲面，则复杂度进一步降低为 $2^{O(tw)} \cdot n^{O(1)}$。
• 对于单个连通平面图 $H$，若 $H$ 是旗帜图的子式且 $H \neq P_5$，则 $f_{\{H\}}(tw) = 2^{\Theta(tw)}$；否则 $f_{\{H\}}(tw) = 2^{\Theta(tw\log tw)}$。
• 所有下界在指数时间假设（ETH）下均紧致，确认了上界最优。
• 对于拓扑子式删除，$f_{\{K_{1,i}\}}(tw) = 2^{\Theta(tw)}$ 对所有 $i \geq 1$ 成立；而对于子式删除，$f_{\{K_{1,i}\}}(tw) = 2^{\Theta(tw\log tw)}$ 对 $i \geq 4$ 成立，表明两种变体之间存在显著差异。