[论文解读] Hitting Sets for Orbits of Circuit Classes and Polynomial Families

Saha, Chandan, Thankey, Bhargav|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Polynomial and algebraic computation参考文献 37被引用 6

一句话总结

本文提出了一种随机化代数算法，用于测试在复数或实数域上的齐次三次多项式是否可表示为线性无关线性型的立方和。该方法通过赫essian矩阵的联合对角化实现对称张量分解，避免了多项式因式分解；在比特模型下，其在ℚ上运行时间为多项式时间，并可实现对黑箱恒等性测试、变量最小化、李代数计算以及线性型因式分解等问题的去随机化。

ABSTRACT

The orbit of an n-variate polynomial f(𝐱) over a field 𝔽 is the set {f(A𝐱+𝐛) : A ∈ GL(n,𝔽) and 𝐛 ∈ 𝔽ⁿ}. In this paper, we initiate the study of explicit hitting sets for the orbits of polynomials computable by several natural and well-studied circuit classes and polynomial families. In particular, we give quasi-polynomial time hitting sets for the orbits of: 1) Low-individual-degree polynomials computable by commutative ROABPs. This implies quasi-polynomial time hitting sets for the orbits of the elementary symmetric polynomials. 2) Multilinear polynomials computable by constant-width ROABPs. This implies a quasi-polynomial time hitting set for the orbits of the family {IMM_{3,d}}_{d ∈ ℕ}, which is complete for arithmetic formulas. 3) Polynomials computable by constant-depth, constant-occur formulas. This implies quasi-polynomial time hitting sets for the orbits of multilinear depth-4 circuits with constant top fan-in, and also polynomial-time hitting sets for the orbits of the power symmetric and the sum-product polynomials. 4) Polynomials computable by occur-once formulas.

研究动机与目标

• 开发一种针对齐次三次多项式在ℂ和ℝ上等价于n个立方和的多项式时间算法。
• 避免依赖于多项式因式分解，这是先前重构算法中的常见子程序。
• 提供一种确定性代数算法，仅使用系数上的算术运算和等式/不等式测试。
• 实现相关问题的去随机化：黑箱恒等性测试、变量最小化、李代数计算以及线性型因式分解。
• 在标准图灵机模型下，为具有有理系数的输入建立强多项式时间算法。

提出的方法

• 利用输入多项式f的赫essian矩阵计算其李代数，以捕捉f的对称性。
• 对李代数的一组基进行联合对角化，将f变换为单项式形式。
• 利用如下事实：d次幂和的李代数维数为n−1，且由可交换、可对角化的矩阵构成。
• 通过正交补计算恢复单项式x^α中的指数向量α。
• 通过矩阵变换A重构线性型，使得f(x) = λ·(Ax)^α。
• 使用密集线性代数与有理数d次根提取验证分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在多项式时间内测试一个定义在ℚ上的齐次三次多项式是否在ℂ或ℝ上等价于n个立方和？
• RQ2 能否设计一种避免多项式因式分解的代数算法来解决此问题？
• RQ3 我们能否仅使用算术运算和比较操作，对等价性测试实现去随机化？
• RQ4 使用代数方法最小化多项式中变量数目的计算复杂度是多少？
• RQ5 多项式的李代数能否用于推导出幂次线性型乘积的确定性因式分解算法？

主要发现

• 该算法在标准图灵机模型下，对具有有理系数的输入运行时间为强多项式时间。
• 该方法完全避免了多项式因式分解，转而依赖于赫essian矩阵李代数的联合对角化实现对称张量分解。
• 通过DerandLie过程构建了一个用于线性型幂乘积因式分解的确定性黑箱算法。
• 该算法能正确识别所有在ℚ上等价于P_d = ∑x_i^d的多项式，即存在有理可逆变换A使得f(x) = P_d(Ax)。
• 证明了当且仅当f是n个线性无关线性型的d次幂和时，f的李代数为(n−1)维且为交换李代数。
• 该算法具有鲁棒性：仅当输入无法表示为线性型幂的乘积时才会失败，而这对任何确定性黑箱算法而言都是不可避免的。