[论文解读] Hitting times for non-backtracking random walks.

Dario Fasino, Arianna Tonetto+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2021

Complex Network Analysis Techniques参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一种通过求解线性系统来计算有限无向图上非回溯随机游走的期望 hitting 时间的方法，表明在相同条件下，非回溯随机游走的平均返回时间与标准随机游走完全一致。该方法可高效计算平均首次通过时间与往返时长。

ABSTRACT

A non-backtracking random walk on a graph is a random walk where, at each step, it is not allowed to return back to the node that has just been left. Non-backtracking random walks can model physical diffusion phenomena in a more realistic way than traditional random walks. However, the interest in these stochastic processes has grown only in recent years and, for this reason, there are still various open questions. In this work, we show how to compute the average number of steps a non-backtracking walker takes to reach a specific node starting from a given node. This problem can be reduced to solving a linear system that, under suitable conditions, has a unique solution. Finally, we compute the average number of steps required to perform a round trip from a given node and we show that mean return times for non-backtracking random walks coincide with their analogue for random walks in all finite, undirected graphs in which both stochastic processes are well-defined.

研究动机与目标

• 开发一种计算上可行的方法，用于计算非回溯随机游走者从给定起始节点到达目标节点所需步数的期望值。
• 解决非回溯随机游走缺乏既定分析工具的问题，此类过程在建模现实扩散过程中的重要性日益增加。
• 确定在有限无向图中，非回溯随机游走的平均返回时间是否与标准随机游走的平均返回时间一致。
• 在适当条件下，将 hitting 时间的计算问题简化为求解一个明确定义的线性系统。

提出的方法

• 将非回溯随机游走建模为图的有向边上的马尔可夫过程，避免立即反向移动。
• 将到达目标节点的期望 hitting 时间表述为由非回溯过程的转移概率导出的线性系统的解。
• 在标准图论条件下（如连通性和有限大小）确保线性系统具有唯一解。
• 利用图的结构和非回溯转移规则定义系统的系数矩阵。
• 通过计算离开起始节点后返回该节点的期望时间，利用相同的线性系统框架推导平均返回时间。
• 利用对称性和图的结构，将结果与标准随机游走进行比较，并验证平均返回时间的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为给定图和目标节点高效计算非回溯随机游走的期望 hitting 时间？
• RQ2 在何种条件下，非回溯 hitting 时间的线性系统具有唯一解？
• RQ3 在有限无向图中，非回溯随机游走的平均返回时间是否与标准随机游走的平均返回时间一致？
• RQ4 是否可以将 hitting 时间的计算简化为无需模拟或近似即可求解的线性系统？

主要发现

• 在标准图条件下（如连通性和有限大小），从起始节点到达特定节点的非回溯随机游走的期望 hitting 时间可通过求解一个保证具有唯一解的线性系统来计算。
• 在所有非回溯随机游走和标准随机游走均定义良好的有限无向图中，非回溯随机游走的平均返回时间与标准随机游走完全相同。
• 线性系统公式化方法可实现对平均 hitting 时间的精确计算，无需依赖蒙特卡洛模拟或渐近近似。
• 非回溯随机游走与标准随机游走在所有具有明确定义转移规则的有限无向图中，其平均返回时间的一致性具有普遍性。
• 该方法为非回溯过程中首次通过时间的模拟估计提供了一种计算高效且分析严谨的替代方案。