[论文解读] Hitting times, functional inequalities, lyapunov conditions and uniform ergodicity

Patrick Cattiaux, Arnaud Guillin|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 63被引用 22

一句话总结

本文建立了强函数不等式（如 F-Sobolev 不等式和 Poincaré 不等式）与 Lyapunov 型条件之间的完全等价性，表明这些不等式可由命中时间广义指数矩的有限性来刻画。此外，本文进一步证明了无界 Lyapunov 条件仍可蕴含统一遍历性与从无穷大下降的性质，从而完整构建了遍历性、函数不等式与命中时间可积性之间理论框架的联系。

ABSTRACT

The use of Lyapunov conditions for proving functional inequalities was initiated in [5]. It was shown in [4, 30] that there is an equivalence between a Poincar{\\'e} inequality, the existence of some Lyapunov function and the exponential integrability of hitting times. In the present paper, we close the scheme of the interplay between Lyapunov conditions and functional inequalities by $\\bullet$ showing that strong functional inequalities are equivalent to Lyapunov type conditions; $\\bullet$ showing that these Lyapunov conditions are characterized by the finiteness of generalized exponential moments of hitting times. We also give some complement concerning the link between Lyapunov conditions and in-tegrability property of the invariant probability measure and as such transportation inequalities , and we show that some "unbounded Lyapunov conditions" can lead to uniform ergodicity, and coming down from infinity property.

研究动机与目标

• 填补扩散过程中 Lyapunov 条件、函数不等式与命中时间性质之间相互作用的理论空白。
• 通过 Lyapunov 型条件对强函数不等式进行完全表征。
• 证明命中时间广义指数矩的有限性与强函数不等式完全等价。
• 探讨无界 Lyapunov 条件对统一遍历性与从无穷大下降性质的影响。
• 厘清 Lyapunov 条件、不变测度的可积性与运输不等式之间的联系。

提出的方法

• 作者使用满足 $ LW \leq -\lambda W + \mathbf{1}_{\bar{U}} $ 的 Lyapunov 函数 $ W $，其中 $ \lambda > 0 $，$ U $ 为有界开集，且 $ W \geq w > 0 $。
• 通过条件 $ \mathbb{E}_x[e^{\theta T_U}] < \infty $（对某个 $ \theta > 0 $）分析命中时间 $ T_U $ 的指数可积性。
• 关键的技术工具是使用满足广义 Lyapunov 条件 $ (\phi\text{-}Lyap) $ 的函数 $ \phi $，其中 $ \phi $ 有下界，且 $ 1/\phi $ 的 Lipschitz 常数 $ \eta < 1 $。
• 通过 Cauchy-Schwarz 不等式与梯度估计，推导出矩 $ \beta_n = \int \psi^{2n} d\mu $ 的递归界，从而得到指数矩界。
• 证明依赖于对 $ \left| \nabla(\psi^n / \phi) \right|^2 $ 的估计，并假设 $ |\nabla(\psi^2)|/\phi $、$ |\nabla\phi|/\phi^2 $ 与 $ \psi^2/\phi^2 $ 有界。
• 作者将 $ (\phi\text{-}Lyap) $ 条件与矩生成函数 $ \mathbb{E}_x[\exp(\int_0^{T_C} \phi^2(X_s) ds)] < \infty $ 联系起来，从而将其与命中时间行为关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 强函数不等式与 Lyapunov 型条件之间是否存在完全等价性？
• RQ2 命中时间广义指数矩的有限性是否能完全刻画强函数不等式？
• RQ3 无界 Lyapunov 条件是否仍可蕴含统一遍历性与从无穷大下降的性质？
• RQ4 Lyapunov 条件如何与不变测度的可积性及运输不等式相关联？
• RQ5 能否从 Lyapunov 条件与局部 Poincaré 不等式推导出弱 Poincaré 不等式？

主要发现

• 强函数不等式（如 F-Sobolev 不等式、Poincaré 不等式）与存在满足 $ LW \leq -\lambda W + \mathbf{1}_{\bar{U}} $ 的 Lyapunov 函数（其中 $ \lambda > 0 $，$ U $ 有界）的条件完全等价。
• 命中时间 $ \mathbb{E}_x[e^{\theta T_U}] < \infty $ 的广义指数矩的有限性，是强函数不等式的必要且充分条件。
• 即使 Lyapunov 条件无界，仍可导致统一遍历性与从无穷大下降的性质，扩展了经典结果。
• 对于满足 $ \phi $ 有下界且 $ 1/\phi $ 为 $ \eta $-Lipschitz（$ \eta < 1 $）的 $ \phi $-Lyapunov 条件，存在 $ a' > 0 $ 使得 $ \int e^{a' \psi^2} d\mu < \infty $ 成立。
• $ (\phi\text{-}Lyap) $ 条件蕴含 $ \mathbb{E}_x[\exp(\int_0^{T_C} \phi^2(X_s) ds)] < \infty $，从而将矩生成与命中时间行为联系起来。
• 本文表明，弱 Poincaré 不等式结果的逆命题通常不成立，即距离的指数可积性并不蕴含 Poincaré 不等式。