[论文解读] Hitting Times of an Inverse Gaussian Process

P. Vellaisamy, Arun Kumar|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 25被引用 2

一句话总结

本文研究逆高斯过程的首 hitting time 过程，证明其并非 Lévy 过程，但具有连续且单调递增的样本路径。推导出精确的密度函数与分布函数，表明其尾部呈指数衰减，并证明该密度函数满足分数阶 PDE，通过布朗运动的 subordinate 关系，将结果推广至 β-稳定和温和稳定过程。

ABSTRACT

The first hitting time process of an inverse Gaussian process is considered. It is shown that this process is not Levy and has monotonically increasing continuous sample paths. The density functions of one-dimensional distributions of the process are obtained. Its distribution functions are not infinitely divisible and their tail probability decay exponentially. A similar result is obtained for the hitting time of a β-stable process. The density function is shown to solve a fractional PDE and then generalized to tempered stable process. Subordination of the hitting time process to Brownian motion and the underlying PDE of the subordinated process is derived.

研究动机与目标

• 刻画逆高斯过程首 hitting time 过程的性质并确定其随机过程特性。
• 推导 hitting time 过程的精确密度函数与分布函数。
• 研究 hitting time 分布的无限可分性及其尾部行为。
• 通过布朗运动的 subordinate 关系，将结果推广至 β-稳定和温和稳定过程。

提出的方法

• 利用首通过时间分析，推导逆高斯过程首 hitting time 的密度函数。
• 分析样本路径性质，确立其连续性与单调递增性。
• 证明该分布不具备无限可分性，并表现出尾部概率的指数衰减。
• 表明 hitting time 密度函数满足分数阶偏微分方程（PDE）。
• 将 PDE 框架推广至 β-稳定过程，并进一步推广至温和稳定过程。
• 建立 hitting time 过程对标准布朗运动的 subordinate 关系，并显式推导子过程所满足的 PDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 逆高斯过程首 hitting time 过程的样本路径具有何种性质？
• RQ2 hitting time 分布是否具备无限可分性？其尾部行为如何？
• RQ3 hitting time 密度函数能否被表征为分数阶 PDE 的解？
• RQ4 该框架如何推广至 β-稳定与温和稳定过程？
• RQ5 hitting time 过程与布朗运动之间通过 subordinate 关系存在何种联系？

主要发现

• 逆高斯过程首 hitting time 过程具有连续且单调递增的样本路径。
• hitting time 分布不具备无限可分性，其尾部概率呈现指数衰减。
• hitting time 密度函数满足分数阶 PDE，建立了与异常扩散过程的联系。
• 结果推广至 β-稳定过程，其中 hitting time 密度函数同样满足分数阶 PDE。
• 对于温和稳定过程，框架推广了 PDE 解的形式，同时保持了指数尾部衰减特性。
• hitting time 过程被 subordinate 至标准布朗运动，且子过程所满足的 PDE 已显式推导。