[论文解读] Hitting times of Bessel processes

T. Byczkowski, Jacek Małecki+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文利用先前工作的积分公式，为从 $x > 1$ 出发的索引 $μ \in \mathbb{R}$ 的 Bessel 过程首次击中水平 1 的 hitting time 密度提供了精确且一致的估计。关键贡献在于在时间和空间变量中均具有可比性的最优界，改进了 $τ^n$ 中布朗运动的现有估计，并实现了实双曲空间中双曲布朗运动的精确 Poisson 核估计。

ABSTRACT

Let $T_1^{(μ)}$ be the first hitting time of the point 1 by the Bessel process with index $μ\in \R$ starting from $x>1$. Using an integral formula for the density $q_x^{(μ)}(t)$ of $T_1^{(μ)}$, obtained in Byczkowski, Ryznar (Studia Math., 173(1):19-38, 2006), we prove sharp estimates of the density of $T_1^{(μ)}$ which exibit the dependence both on time and space variables. Our result provides optimal estimates for the density of the hitting time of the unit ball by the Brownian motion in $\mathbb{R}^n$, which improve existing bounds. Another application is to provide sharp estimates for the Poisson kernel for half-spaces for hyperbolic Brownian motion in real hyperbolic spaces.

研究动机与目标

• 推导从 $x > 1$ 出发的索引 $\mu$ 的 Bessel 过程首次击中水平 1 的 hitting time $T_1^{(\mu)}$ 密度的精确、一致估计。
• 将这些估计扩展至 $n$-维布朗运动击中单位球的 hitting time，改进完整时间与空间范围内的现有边界。
• 应用结果，通过 Bessel 过程的次序化方法，获得实双曲空间中半空间 Poisson 核的精确估计。
• 解决先前估计中在 $t < |x|^2$ 范围内，下界与上界使用不同指数常数的问题，特别是在平面布朗运动情形下。

提出的方法

• 利用文献 [5] 中 Bessel 过程 hitting time 密度的积分公式，该公式虽复杂但对推导精确边界极为有效。
• 应用标度性质将问题简化为 $a = 1$ 的情形，集中关注 $x > 1$ 的情况。
• 利用修正贝塞尔函数 $I_0$、$K_0$ 及其组合的渐近展开，对不同时间区间 $(u \in (0,1/x), (1/x,1), (1,\infty))$ 内的积分进行估计。
• 根据 $u$ 的取值范围将积分划分为三部分 $J_1, J_2, J_3$，并分别使用已知渐近性与积分界对每部分进行估计。
• 利用 hitting time 密度与 Laplace 变换之间通过函数 $w_\lambda(v)$ 建立的关系，通过反演恢复密度。
• 采用比较技术，利用 $f(x,v) \approx \frac{1}{x(v+1)^{3/2}(v+x)^{1/2}} \frac{\log(x+1)}{\log(v+2)(\log(x+1)+\log(v+2))}$，在所有 $x > 1$ 与 $t > 0$ 上建立一致边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于索引 $\mu \in \mathbb{R}$、从 $x > 1$ 出发的 Bessel 过程，其首次击中水平 1 的 hitting time 密度在所有时间和空间变量上的精确一致界是什么？
• RQ2 这些边界如何改进 $n$-维布朗运动击中单位球的 hitting time 估计，特别是在 $t < |x|^2$ 范围内？
• RQ3 这些估计能否通过 Bessel 过程的次序化方法，实现对实双曲空间中半空间 Poisson 核的精确渐近控制？
• RQ4 在平面情形（$n=2$）下，当 $t \to \infty$ 时，hitting time 密度的精确行为是什么？与先前结果相比如何？
• RQ5 如何将 hitting time 密度的积分表示在不同时间尺度上有效分解并估计，以实现一致边界？

主要发现

• 当 $\mu \neq 0$ 时，$T_1^{(\mu)}$ 的密度满足 $\frac{\mathbf{P}_x^{(\mu)}(T_1^{(\mu)} \in dt)}{dt} \approx (x-1)\left(\frac{1}{1+x^{2\mu}}\right)\frac{e^{-(x-1)^2/2t}}{t^{3/2}}\frac{x^{2|\mu|-1}}{t^{|\mu|-1/2}+x^{|\mu|-1/2}}$，其中常数一致且仅依赖于 $\mu$。
• 当 $\mu = 0$ 时，密度满足 $\frac{\mathbf{P}_x^{(0)}(T_1^{(0)} \in dt)}{dt} \approx (x-1)e^{-(x-1)^2/2t}\frac{(x+t)^{1/2}}{xt^{3/2}}\frac{1+\log x}{(1+\log(1+t/x))(1+\log(t+x))}$，这是在所有 $t > 0$ 上对平面情形的首次精确估计。
• 当 $n > 2$ 时，$n$-维布朗运动击中单位球的 hitting time $\sigma^{(n)}$ 满足 $\frac{P^x(\sigma^{(n)} \in dt)}{dt} \approx \frac{|x|-1}{|x|}\frac{e^{-(|x|-1)^2/2t}}{t^{3/2}}\frac{1}{t^{(n-3)/2}+|x|^{(n-3)/2}}$，优于先前的边界。
• 当 $n = 2$ 时，估计 $\frac{P^x(\sigma^{(2)} \in dt)}{dt} \approx \frac{|x|-1}{|x|}e^{-(|x|-1)^2/2t}\frac{(|x|+t)^{1/2}}{t^{3/2}}\frac{1+\log|x|}{(1+\log(1+t/|x|))(1+\log(t+|x|))}$ 是全新的，且在所有 $t > 0$ 与 $|x| > 1$ 上达到最优，解决了早期工作中存在的空白。
• 生存概率 $\mathbf{P}_x^{(\mu)}(t < T_1^{(\mu)} < \infty)$ 也得到了精确估计，其渐近行为与大 $t$ 时的已知结果一致。
• 本研究解决了先前工作中在 $t < |x|^2$ 范围内，下界与上界使用不同指数常数的问题，代之以在整个时间和空间域内一致且精确的匹配估计。