[论文解读] HMS for punctured tori and categorical mapping class group actions

Nicolò Sibilla|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 3

一句话总结

本论文通过同调镜像对称及穿孔环面的Fukaya范畴的层论模型，建立了纯映射类群在射影直线环的凝聚层导出范畴上的范畴作用。证明了德恩旋转变换在线丛与截面层上的作用满足辫子关系的中心扩张，实现了对2-穿孔环面的镜像对称预测。

ABSTRACT

Let X_n be a cycle of n projective lines, and T_n a symplectic torus with n punctures. In this paper we review results appeared in arXiv:1103.2462 and in arXiv:1109.6615, which establish a version of homological mirror symmetry relating X_n and T_n, and define on D^b(Coh(X_n)) an action of the pure mapping class group of T_n.

研究动机与目标

• 建立纯映射类群在射影直线环的凝聚层导出范畴上的范畴作用。
• 验证镜像对称框架预测了映射类群作用在导出范畴上的中心扩张。
• 为穿孔黎曼曲面的Fukaya范畴构造一个dg层模型（CPM），特别是针对2-穿孔环面。
• 证明导出范畴上的德恩旋转变换函子满足预期的辫子关系与G-关系，与辛映射类群一致。
• 通过球面旋转变换函子与quiver表示，为奇异Calabi-Yau退化提供镜像对称的显式实现。

提出的方法

• 基于微局部层理论与Nadler-Zaslow对余切丛的等价性，在穿孔黎曼曲面的拉格朗日子空间上构造一个dg范畴层CPM。
• 利用CPM模型，为穿孔环面T_n上的精确拉格朗日子流形的Fukaya范畴定义一个dg增强。
• 将射影直线环X_n上凝聚层的导出范畴D^b(Coh(X_n)) 实现为T_n的CPM模型的镜像对偶。
• 通过结构层O与截面层κ(x_i)相关的球面旋转变换函子，在D^b(Coh(X_n))上定义自同构。
• 证明纯映射类群在D^b(Coh(X_n))上的诱导作用满足辫子关系及带有中心扩张的修正G-关系。
• 利用1维流形上的构造层与quiver表示的组合学，描述范畴Sh(X, Λ_P)及其与X_n上凝聚层的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用dg范畴层对穿孔黎曼曲面的Fukaya范畴进行建模？
• RQ2 射影直线环的凝聚层导出范畴是否允许其镜像穿孔环面的纯映射类群作用？
• RQ3 D^b(Coh(X_n))上的球面旋转变换函子是否满足来自辛映射类群的预期辫子关系与G-关系？
• RQ4 是否存在一个纯映射类群的中心扩张，通过自同构作用于D^b(Coh(X_n))，并与镜像对称预测一致？
• RQ5 德恩旋转变换在镜像侧的作用能否通过旋转变换函子在凝聚层侧实现范畴化？

主要发现

• n-穿孔环面T_n的Fukaya范畴的CPM模型与射影直线环X_n上凝聚层的导出范畴D^b(Coh(X_n))之间存在拟等价。
• T_n的纯映射类群通过与球面旋转变换函子相关的自同构作用于D^b(Coh(X_n))。
• 当n=2时，该作用通过纯映射类群的Z-中心扩张实现，且G-关系满足(T_β1 T_α T_β2)^4 = t^2。
• 映射T_α ↦ T_O 与 T_βi ↦ T_κ(xi) 定义了在D^b(Coh(X_2))上关于中心扩张的良定义作用。
• 该作用保持结构层与截面层，且当n=2时，诱导的自同构自然同构于一个对合的拉回。
• 通过在O与κ(xi)上计算作用，验证了G-关系，表明(T_κ(x1) T_O T_κ(x2))^4 ≅ [2]，与中心扩张一致。