[论文解读] Hochschild and cyclic homology of central extensions of preprojective algebras of ADE quivers

Ching-Hwa Eu|ArXiv.org|Jun 16, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 3

一句话总结

本论文利用4-周期的投射化解析，计算了ADE型quiver的中心扩张预投射代数的Hochschild同调与循环同调，确立了同调与上同调中的周期性。通过变形空间与第二Hochschild上同调群之间的同构，确定了该代数的普遍形变，表明其形变理论无阻碍。

ABSTRACT

Let A be the central extension of the preprojective algebra of an ADE quiver introduced by P. Etingof and E. Rains in math/0503393. The paper math/0606403 computes the structure of the zeroth Hochschild (co)homology of A. We generalize the results of math/0606403 by calculating the additive structure of all the Hochschild homology and cohomology groups of A and the cyclic homology of A, and to describe the universal deformation of A. Namely, we show that the (co)homology is periodic with period 4, and compute the first four (co)homology groups in each case.

研究动机与目标

• 计算ADE型quiver中心扩张预投币代数的Hochschild同调与上同调、循环同调的加法结构。
• 确立这些代数的Hochschild（上）同调与循环同调的周期性，周期为4。
• 通过分析HH²(A)确定中心扩张预投币代数的普遍形变。
• 将[ELR]中关于中心与迹空间的先前结果推广至完整的（上）同调结构。
• 为未来工作提供（上）同调中乘积结构的计算框架。

提出的方法

• 通过路径代数上的分次双模，构造中心扩张预投币代数A的4-周期投射化解析。
• 利用周期化解析计算前四个Hochschild同调与上同调群，确立周期性。
• 应用Hilbert级数形式化方法，借助[ELR]的结果与[RS]中的组合恒等式，计算同调与上同调的生成函数。
• 定义两个解剖间的链映射f₁与f₂，并证明其交换性，以关联解剖中的微分。
• 通过A^e上的Hom函子对解剖进行对偶化，利用诱导映射f₁*与f₂*计算Hochschild上同调。
• 通过证明映射θ诱导E'到A/([A,A] + μZ)的同构，从而建立变形空间E'与HH²(A)之间的同构，得出普遍形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 中心扩张预投币代数的Hochschild同调与上同调的加法结构是什么？
• RQ2 这些代数的Hochschild（上）同调是否表现出周期性？若有，周期是多少？
• RQ3 中心扩张预投币代数的普遍形变能否被显式描述？
• RQ4 变形空间与第二Hochschild上同调群HH²(A)之间存在何种关系？
• RQ5 能否利用已知结果与组合恒等式计算同调与上同调群的Hilbert级数？

主要发现

• 中心扩张预投币代数A的Hochschild同调与上同调具有周期为4的周期性。
• 前四个Hochschild同调与上同调群被显式计算，其Hilbert级数利用[ELR]的结果与组合恒等式确定。
• A的循环同调被计算，其Hilbert级数由此数据推导得出。
• 变形空间E'被识别为ker(θ)的补空间，且映射θ诱导E'到A/([A,A] + μZ)的同构，而该商群同构于HH²(A)。
• 由A' = P[z][[t₁,…,tₛ]] / (∑[a,a*] = μz + ∑tᵢwᵢ)定义的子形变A'是A的普遍形变。
• A的形变理论无阻碍，因为HH²(A)分类了所有形式形变，且与E'的同构确保了普遍性。