[论文解读] Hochschild Cohomology of Algebras in Monoidal Categories and Splitting Morphisms of Bialgebras

Alessandro Ardizzoni, Claudia Menini+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文为阿贝尔张量范畴中的代数发展了Hochschild上同调，并将其应用于双代数与量子群。证明了若一个量子群 $ A $ 通过一个幂零的量子群理想有半单商 $ H $，则自然投影 $ A \to H $ 允许一个 $ H $-共变的代数截面，使得 $ A $ 可被实现为 $ H $ 上的Yetter–Drinfeld代数的广义玻色化，从而从范畴论角度推广了Radford定理。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to investigate the structure of Hopf algebras with the property that either its Jacobson radical is a Hopf ideal or its coradical is a subalgebra. In order to do that we define the Hochschild cohomology of an algebra in an abelian monoidal category. Then we characterize those algebras which have dimension less than or equal to 1 with respect to Hochschild cohomology. Now let us consider a Hopf algebra A such that its Jacobson radical J is a nilpotent Hopf ideal and H:=A/J is a semisimple algebra. By using our homological results, we prove that the canonical projection of A on H has a section which is an H-colinear algebra map. Furthermore, if H is cosemisimple too, then we can choose this section to be an (H,H)-bicolinear algebra morphism. This fact allows us to describe A as a `generalized bosonization' of a certain algebra R in the category of Yetter-Drinfeld modules over H. As an application we give a categorical proof of Radford's result about Hopf algebras with projections. We also consider the dual situation. In this case, many results that we obtain hold true for a large enough class of H-module coalgebras, where H is a cosemisimple Hopf algebra.

研究动机与目标

• 为阿贝尔张量范畴中的代数发展Hochschild上同调，将经典的同调工具推广至范畴框架。
• 刻画Hochschild上同调维数 ≤1 的代数，特别关注可分代数与形式光滑代数。
• 建立从一个量子群 $ A $ 到其半单商 $ H $ 的自然投影在 $ H $-余模范畴中允许代数截面的条件。
• 通过提升方法与玻色化，提供Radford定理在量子群上的范畴化推广。
• 将结果对偶化至余根基滤过的情形，证明具有半单余根基的量子群同构于Yetter–Drinfeld代数的玻色化。

提出的方法

• 在阿贝尔张量范畴 $ \text{Mod} $ 中，为代数 $ A $ 与 $ (A,A) $-双模 $ M $ 定义Hochschild上同调 $ \textbf{H}^\bullet(A, M) $，推广经典Hochschild上同调。
• 引入可分代数作为 $ \text{Ext} $-投影双模的概念，并将形式光滑代数定义为在度数 ≥1 时Hochschild上同调平凡的代数。
• 利用 $ \textbf{H}^2(A,M) $ 与Hochschild扩张等价类之间的对应关系，通过上同调的消失性来构造代数截面。
• 将形式化应用于右 $ H $-余模范畴 $ \text{Mod}^H $ 与 $ (H,H) $-双余模范畴 $ {}^H\text{Mod}^H $，其中 $ H $ 是一个半单量子群。
• 借助Yetter–Drinfeld模与Hochschild双模之间的等价关系，将代数 $ R = A^{\text{co}H} $ 视为 $ {}^H\text{Mod}^H $ 中的对象，并构造一个对偶的Yetter–Drinfeld四元组。
• 利用Takeuchi的同构定理，证明 $ A $ 作为双代数（及量子群）同构于玻色化 $ R \\setminus\#^b H $，当 $ \theta \neq 0 $ 时结构映射非平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种范畴条件下，从一个量子群 $ A $ 到其半单商 $ H $ 的自然投影 $ A \to H $ 允许一个 $ H $-共变的代数截面？
• RQ2 如何利用张量范畴中的Hochschild上同调推广Wedderburn–Malcev定理并刻画形式光滑代数？
• RQ3 能否通过范畴同调工具与辫子范畴中的玻色化，重新推导Radford关于具有投影的量子群的定理？
• RQ4 当一个量子群 $ A $ 的余根基 $ H $ 是一个半单子量子群时，其结构如何？如何从 $ H $ 上的Yetter–Drinfeld代数重构 $ A $？
• RQ5 在 $ A $ 与 $ A^* $ 之间的对偶性如何反映在相关Yetter–Drinfeld四元组及其玻色化结构上？

主要发现

• 若 $ A $ 是一个量子群，其Jacobson根 $ J $ 是一个幂零的量子群理想，且 $ H = A/J $ 半单，则自然投影 $ \tau: A \to H $ 允许一个 $ H $-共变的代数截面 $ \rho: H \to A $，因此 $ A $ 是 $ R = A^{\text{co}H} $ 在 $ H $ 上的广义玻色化。
• 当 $ H $ 同样为余半单时，可选取截面 $ \rho $ 为 $ (H,H) $-双共变，确保其与双代数结构相容。
• 该量子群 $ A $ 作为双代数（及量子群）同构于玻色化 $ R \\setminus\#^b H $，其中 $ R = A^{\text{co}H} $，且当 $ \theta \neq 0 $ 时结构映射 $ \theta: R \to H \to R \to H $ 非平凡，如在 $ \theta(x_2 \times x_1) = a(c^2 - 1) $ 的例子中所示。
• 对偶代数 $ A^* $ 满足对偶定理的条件，且 $ (A^*)^{\text{co}H^*} $ 同构于 $ R^* $，对偶结构映射 $ \theta^* $ 对应于原始的 $ \theta $。
• 同构 $ \theta^* $ 通过复合 $ \text{Hom}(R \times R, K) \to (R \times R)^* $ 实现，且该图交换，表明当 $ \theta \neq 0 $ 时 $ A $ 是非平凡的玻色化。
• 结果在范畴论上推广了Radford定理：任何具有半单量子群商 $ H $ 且根 $ J $ 幂零的量子群，均可分解为 $ H $ 上Yetter–Drinfeld代数的玻色化。