[论文解读] Hochschild cohomology of smash products and rank one Hopf algebras

Sebastian Burciu, Sarah Witherspoon|ArXiv.org|Aug 30, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 6

一句话总结

该论文通过引入 $(A\#H)^{\otimes 2}$ 的一个子代数 $\mathcal{D}$，建立了一个计算 smash 乘积 $A\#H$ 的 Hochschild 上同调的新框架，证明了对于任意 $B$-双模 $M$，有 $\mathrm{HH}^*(A\#H, M) \cong \mathrm{Ext}^*_{\mathcal{D}}(A, M)$。它证明了上同调环由 $\mathrm{HH}^*(A)$ 的 $H$-不变部分与中心 $Z(A\#H)$ 生成，并表明当 $H$ 半单时，Kaygun 的 Hopf-Hochschild 上同调与 Hochschild 上同调同构。

ABSTRACT

We give some general results on the ring structure of Hochschild cohomology of smash products of algebras with Hopf algebras. We compute this ring structure explicitly for a large class of finite dimensional Hopf algebras of rank one.

研究动机与目标

• 将 $A\#H$ 的 Hochschild 上同调的向量空间分解推广至 $A = k$ 和 $H = kG$ 之外的情形。
• 通过子代数 $\mathcal{D} \subset (A\#H)^e$，在链复水平描述 $\mathrm{HH}^*(A\#H)$ 上的杯积结构。
• 在 $H$ 半单时，建立 $A\#H$ 的 Hochschild 上同调与 Kaygun 的 Hopf-Hochschild 上同调之间的环同构。
• 计算秩一 Hopf 代数 $B = A\#kG$（其中 $A = k[x]/(x^n)$）的 $\mathrm{HH}^*(B)$ 的完整分次环结构。

提出的方法

• 引入子代数 $\mathcal{D} \subset (A\#H)^e$，定义为 $\mathcal{D} = \{ a h_1 \otimes S(h_2) b \mid a,b \in A, h \in H \}$，该代数控制 $A\#H$ 的上同调。
• 证明对于任意 $A\#H$-双模 $M$，有 $\mathrm{HH}^*(A\#H, M) \cong \mathrm{Ext}^*_{\mathcal{D}}(A, M)$，从而推广已知的分解结果。
• 利用布宜诺斯艾利斯循环上同调小组的显式链映射，计算秩一 Hopf 代数上 $\mathrm{HH}^*(B)$ 的杯积结构。
• 通过映射 $ah_1 \otimes S(h_2)b \mapsto a \otimes b \otimes h$，建立同构 $\Gamma \cong \mathcal{D}$，其中 $\Gamma = A^e \rtimes H$ 是 Kaygun 的半直积代数。
• 利用 $\mathcal{D}$-解析列与投射性，当 $H$ 半单时，应用同构 $\mathrm{HH}^*_{\text{Hopf}}(A,M) \cong \mathrm{HH}^*(A\#H,M)$。
• 通过证明 $\mathrm{HH}^*(B)$ 由 $\mathrm{HH}^*(A)^G$ 和 $Z(B)$ 生成，验证 $\mathrm{HH}^*(B)$ 的环结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $H$ 具有双射反向映射时，如何以 $\mathcal{D}$-模的形式分解 $A\#H$ 的 Hochschild 上同调？
• RQ2 在 $\mathcal{D}$-上链复的框架下，$\mathrm{HH}^*(A\#H)$ 的显式环结构（特别是杯积）是什么？
• RQ3 当 $H$ 半单时，$H$-模代数 $A$ 的 Kaygun 的 Hopf-Hochschild 上同调是否与 $A\#H$ 的 Hochschild 上同调一致？
• RQ4 对于秩一 Hopf 代数 $B = A\#kG$，$\mathrm{HH}^*(B)$ 的完整分次环结构是什么？其生成方式如何？
• RQ5 是否能通过 $\mathcal{D}$-解析列在上链复水平显式描述 $\mathrm{HH}^*(A\#H)$ 上的杯积？

主要发现

• 对于任意 $A\#H$-双模 $M$，有 $\mathrm{HH}^*(A\#H, M) \cong \mathrm{Ext}^*_{\mathcal{D}}(A, M)$，为 smash 乘积提供了新的上同调框架。
• 对于秩一 Hopf 代数 $B = A\#kG$，环 $\mathrm{HH}^*(B)$ 由 $G$-不变子环 $\mathrm{HH}^*(A)^G$ 和中心 $Z(B) \cong \mathrm{HH}^0(B)$ 生成。
• 通过公式 $(f \smile f')(a_0 \otimes \cdots \otimes a_{l+m+1}) = f(a_0 \otimes \cdots \otimes a_l \otimes 1) f'(1 \otimes a_{l+1} \otimes \cdots \otimes a_{l+m+1})$，在上链复水平显式描述了 $\mathrm{HH}^*(B)$ 上的杯积。
• 当 $H$ 半单时，有 $\mathrm{HH}^*(A\#H) \cong \mathrm{HH}^*(A, A\#H)^H$，表明上同调同构于 $\mathrm{HH}^*(A, A\#H)$ 的 $H$-不变部分。
• Kaygun 引入的代数 $\Gamma = A^e \rtimes H$ 同构于 $(A\#H)^e$ 中的 $\mathcal{D}$，从而导出当 $H$ 半单时，有 $\mathrm{HH}^*_{\text{Hopf}}(A,M) \cong \mathrm{HH}^*(A\#H,M)$。
• 同构 $\Gamma \cong \mathcal{D}$ 由映射 $ah_1 \otimes S(h_2)b \mapsto a \otimes b \otimes h$ 给出，这是一个保持上同调结构的代数同构。