[论文解读] Hochschild cohomology of triangular matrix algebras

Jorge A. Guccione, Juan J. Guccione|ArXiv.org|Apr 5, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文建立了两条长正合序列，将三角矩阵代数 $E = \begin{smallmatrix} A & M \\ 0 & B \end{smallmatrix}$ 的Hochschild上同调与它的分量 $A$、$B$ 以及双模 $M$ 的上同调联系起来。通过构造 $E$ 的相对投射化解析，证明了 $E$ 的上同调嵌入于涉及 $A \otimes B^{\text{op}}$ 和 $E \otimes B^{\text{op}}$ 上的 Ext 群的正合序列中，将先前的结果推广至任意交换基环，并为计算三角代数的Hochschild上同调提供了基础工具。

ABSTRACT

We prove the existence of two long exact sequences relating the Hochschild cohomology of a triangular matrix algebra with the Hochschild homology of its component subalgebras. We also study the structure of the maps of the first sequence.

研究动机与目标

• 建立连接三角矩阵代数 $E = \begin{smallmatrix} A & M \\ 0 & B \end{smallmatrix}$ 的Hochschild上同调与 $A$、$B$ 以及双模 $M$ 的上同调的长正合序列。
• 通过去除对基环 $k$ 的限制，并仅假设 $k$ 是含单位元的交换环，推广先前关于三角代数Hochschild上同调的结果。
• 通过使用 $E$ 的简单相对投射化解析，提供一个初等证明，避免使用复杂的同调代数工具。
• 通过 Tor 群将结果推广至同调设定，得到同调情形下的类似正合序列。
• 证明 $\operatorname{H}^*(E,E)$、$\operatorname{H}^*(A,A)$ 和 $\operatorname{H}^*(B,B)$ 上的杯积结构与正合序列中的映射相容，保持其分次代数结构。

提出的方法

• 作者构造了代数 $E$ 作为 $E$-双模的相对投射化解析，从而可通过标准复形计算Hochschild上同调。
• 他们定义了一个链映射 $\gamma_n$，将 $E$ 的Hochschild复形与 $A$ 和 $B$ 的张量积复形联系起来，从而实现正合序列的构造。
• 第一条长正合序列基于 Ext 群 $\operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M, X_{AB})$，其中 Ext 相对于 $A \otimes B^{\text{op}}$-模的 $k$-分裂满同态。
• 第二条正合序列涉及 Ext 群 $\operatorname{Ext}^*_{E \otimes B^{\text{op}}, k}(B_E, X1_B)$，其中 $B_E$ 是通过商映射 $\pi: E \to B$ 将 $B$ 视为 $E$-双模。
• 证明了 $\operatorname{H}^*(E,E)$、$\operatorname{H}^*(A,A)$ 和 $\operatorname{H}^*(B,B)$ 上的杯积结构与正合序列中的映射相容，确保这些映射是代数同态。
• 通过相对 $k$-分裂满同态的 Tor 群，推导出同调情形的类比结果（定理 1' 和 2'），与上同调情形相对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将三角矩阵代数 $E = \begin{smallmatrix} A & M \\ 0 & B \end{smallmatrix}$ 的Hochschild上同调与它的分量 $A$、$B$ 以及双模 $M$ 的上同调联系起来？
• RQ2 能否构造连接 $\operatorname{H}^*(E,X)$ 到 $\operatorname{H}^*(A,X_{AA})$、$\operatorname{H}^*(B,X_{BB})$ 以及 $\operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M,X_{AB})$ 的长正合序列？
• RQ3 在正合序列中，$\operatorname{H}^*(E,E)$ 上的杯积结构表现出何种行为？
• RQ4 上同调结果如何推广至同调设定？Tor 群在此过程中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，映射 $\operatorname{H}^*(E,E) \to \operatorname{H}^*(A,A) \oplus \operatorname{H}^*(B,B)$ 是一个环同态？

主要发现

• 本文构造了一条长正合序列，将 $\operatorname{H}^*(E,X)$ 与 $\operatorname{H}^*(A,X_{AA}) \oplus \operatorname{H}^*(B,X_{BB})$ 及 $\operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M,X_{AB})$ 联系起来，该结果对任意交换环 $k$ 均成立。
• 第二条长正合序列将 $\operatorname{H}^*(E,X)$ 与 $\operatorname{H}^*(A,X_{AA})$ 及 $\operatorname{Ext}^*_{E \otimes B^{\text{op}}, k}(B_E, X1_B)$ 联系起来，其中 $B_E$ 是通过商映射 $\pi: E \to B$ 将 $B$ 视为 $E$-双模。
• 证明了映射 $j^*: \operatorname{H}^*(E,E) \to \operatorname{H}^*(A,A) \oplus \operatorname{H}^*(B,B)$ 是一个分次环同态，其由上链的限制诱导。
• 复合映射 $\phi^* = \widetilde{\gamma}^* \circ \widetilde{\delta}^*$ 诱导出一个映射 $\operatorname{H}^*(B,B) \to \operatorname{Ext}^*_{A \otimes B^{\text{op}}, k}(M,M)$，该映射保持杯积结构；当 $f$ 属于某个子复形的像时，$gf$ 在 $\operatorname{H}^*(E,E)$ 中的乘积为零。
• 通过相对 $k$-分裂满同态的 Tor 群，建立了同调版本（定理 1' 和 2'），得到涉及 $\operatorname{H}_*(A,X_{AA})$、$\operatorname{H}_*(B,X_{BB})$ 和 $\operatorname{H}_*(E,X)$ 的正合序列。
• 作者证明了 $\operatorname{H}^*(E,E)$ 上的杯积与正合序列中的映射相容，且 $gf$ 同伦于 $(-1)^{rs}fg^\prime$，这意味着当 $f$ 属于子复形的像时，$[gf] = 0$ 在上同调中成立。