[论文解读] HOD in inner models with Woodin cardinals

Sandra Müller, Grigor Sargsyan|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Advanced Topology and Set Theory被引用 2

一句话总结

该论文证明，在Π¹ₙ₊₂-决定性假设下，对实数x的n个伍丁基数的典范内模型Mn(x)进行Lévy坍塌泛性扩张Mn(x)[g]后，其高阶序可定义集合（HOD）等于一个精细结构模型Mn(M∞|δ∞, Λ)，其中M∞是Mn+1的迭代的直接极限，δ∞是其最小的伍丁基数，Λ是一个部分迭代策略。该结果确认了HODMn(x)[g]满足GCH及其他精细结构原理。

ABSTRACT

We analyze the hereditarily ordinal definable sets $\operatorname{HOD}$ in $M_n(x)[g]$ for a Turing cone of reals $x$, where $M_n(x)$ is the canonical inner model with $n$ Woodin cardinals build over $x$ and $g$ is generic over $M_n(x)$ for the L\'evy collapse up to its bottom inaccessible cardinal. We prove that assuming $\boldsymbol\Pi^1_{n+2}$-determinacy, for a Turing cone of reals $x$, $\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]} = M_n(\mathcal{M}_{\infty} | \kappa_\infty, \Lambda),$ where $\mathcal{M}_\infty$ is a direct limit of iterates of $M_{n+1}$, $\delta_\infty$ is the least Woodin cardinal in $\mathcal{M}_\infty$, $\kappa_\infty$ is the least inaccessible cardinal in $\mathcal{M}_\infty$ above $\delta_\infty$, and $\Lambda$ is a partial iteration strategy for $\mathcal{M}_{\infty}$. It will also be shown that under the same hypothesis $\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]}$ satisfies $\operatorname{GCH}$.

研究动机与目标

• 该论文研究在决定性假设下，具有伍丁基数的内模型中HOD的结构。
• 旨在确定HODMn(x)[g]是否为一个精细结构模型，特别是其是否满足GCH。
• 研究旨在将HODMn(x)[g]表征为基于Mn+1的迭代的直接极限构建的典范内模型。
• 考察迭代策略与泛性扩张在稳定HOD结构中的作用。
• 目标包括证明HODMn(x)[g]等于一个模型Mn( ̂M∞|κ∞, Λ)，其中̂M∞是M∞的典范扩张。

提出的方法

• 分析使用了在Mn(x)上对κ的Lévy坍塌Col(ω, <κ)，其中κ是Mn(x)中最小的不可达基数。
• 从Mn+1的迭代中构造直接极限模型M∞，重点关注M∞中最小的伍丁基数δ∞。
• 论文采用完全背景化扩展器构造与比较技术，将Mn(M∞|δ∞, F↾δ∞)与HODMn(x)[g]进行比较。
• 将部分迭代策略Λ定义为ΣM⁻ₙ₊₁对̂M∞|κ∞中正确引导的有限堆栈的限制。
• 使用布尔值比较技术，证明某些迭代R既是M∞的ΣM⁻ₙ₊₁-迭代，也是可数n-合适模型的伪正规迭代。
• 证明依赖于π∞↾δ∞从̂M∞|κ∞和Λ的可定义性，并利用泛性与初等等价性，确立HODMn(x)[g]与Mn( ̂M∞|κ∞, Λ)之间的相等性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Π¹ₙ₊₂-决定性下，HODMn(x)[g]是否满足广义连续统假设（GCH）？
• RQ2 HODMn(x)[g]是否等于某个直接极限模型M∞与策略Λ的典范精细结构模型Mn(M∞|δ∞, Λ)？
• RQ3 Mn(x)[g]中的HOD结构能否被表征为基于Mn+1的迭代的直接极限构建的模型？
• RQ4 M∞上的迭代策略Λ与HODMn(x)[g]的可定义性之间有何关系？
• RQ5 泛性扩张g在稳定HOD结构及支持比较论证中起什么作用？

主要发现

• 在Π¹ₙ₊₂-决定性下，HODMn(x)[g] = Mn(M∞|δ∞, Λ)，其中M∞是Mn+1的迭代的直接极限，Λ是部分迭代策略。
• 模型HODMn(x)[g]等于Mn( ̂M∞|κ∞, Λ)，其中̂M∞ = Mn(M∞|δ∞)，κ∞是̂M∞中高于δ∞的最小不可达基数。
• 迭代策略Λ在HODMn(x)[g]中可定义，且π∞↾δ∞可从̂M∞|κ∞和Λ定义。
• HODMn(x)[g]满足广义连续统假设（GCH），以及其他组合原理如♦。
• 等式HODMn(x)[g] = Mn(M∞|δ∞, π∞↾δ∞)成立，且等价于HODMn(x)[g] = Mn( ̂M∞|κ∞, Λ)。
• 结果可推广至其他典范自迭代内模型，如Mω和Mω+42，仅需微小修改。