[论文解读] Hodge and Prym tau functions, Jenkins-Strebel differentials and combinatorial model of $\mathcal M_{g,n}$

Marco Bertola, D. Korotkin|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文利用来自 Jenkins-Strebel 微分的 Hodge 和 Prym tau 函数，构造了组合模空间 $\mathcal{M}_{g,n}$ 上线丛的显式截面。通过分析这些 tau 函数相位在余维数为 2 的循环周围的单值性，将陈类的庞加莱对偶表示为 Witten 循环 $W_5$ 与 Kontsevich 边界 $W_{1,1}$ 的组合，从而在组合模型中建立了 Mumford 和 Penner 关系的组合类比。

ABSTRACT

The principal goal of the paper is to apply the approach inspired by the theory of integrable systems to construct explicit sections of line bundles over the combinatorial model of the moduli space of pointed Riemann surfaces based on Jenkins-Strebel differentials. The line bundles are tensor products of the determinants of the Hodge or Prym vector bundles with the standard tautological line bundles $\mathcal L_j$ and the sections are constructed in terms of tau functions. The combinatorial model is interpreted as the real slice of a complex analytic moduli space of quadratic differentials where the phase of each tau-function provides a section of a circle bundle. The phase of the ratio of the Prym and Hodge tau functions gives a section of the $κ_1$-circle bundle. By evaluating the increment of the phase around co-dimension $2$ sub-complexes, we identify the Poincaré\ dual cycles to the Chern classes of the corresponding line bundles: they are expressed explicitly as combination of Witten's cycle $W_5$ and Kontsevich's boundary. This provides combinatorial analogues of Mumford's relations on $\mathcal M_{g,n}$ and Penner's relations in the hyperbolic combinatorial model. The free homotopy classes of loops around $W_5$ are interpreted as pentagon moves while those of loops around Kontsevich's boundary as combinatorial Dehn twists. Throughout the paper we exploit the classical description of the combinatorial model in terms of Jenkins--Strebel differentials, parametrized in terms of {\it homological coordinates}; we also show that they provide Darboux coordinates for the symplectic structure introduced by Kontsevich. We also express the latter in clear geometric terms as the intersection pairing in the odd homology of the canonical double cover.

研究动机与目标

• 利用可积系统中的 tau 函数，构造 $\mathcal{M}_{g,n}$ 的组合模型上线丛的显式截面。
• 将 Hodge 和 Prym tau 函数的相位解释为圆丛的截面，将其与典型类联系起来。
• 通过单值性分析，在组合模型中识别 $\lambda$、$\lambda_P$ 和 $\kappa_1$ 类的庞加莱对偶循环。
• 在 Jenkins-Strebel 微分的背景下，建立 Mumford 和 Penner 关系的组合类比。
• 将如五边形移动和 Dehn 扭转等拓扑操作解释为围绕关键循环 $W_5$ 和 $W_{1,1}$ 的单值性作用。

提出的方法

• 利用 Jenkins-Strebel 微分通过周期坐标参数化组合模型 $\mathcal{M}_{g,n}[\mathbf{p}]$。
• 在亚纯二次微分空间 $\mathcal{Q}_{g,n}^{\mathbf{k},\mathbf{l}}$ 上定义 Hodge ($\tau_+$) 和 Prym ($\tau_-$) tau 函数。
• 应用等单值形变理论推导 $\tau_\pm$ 的微分方程，并分析其单值性。
• 将 $\tau_\pm$ 的相位识别为圆丛的截面，其在余维数为 2 的子复形周围的单值性产生庞加莱对偶。
• 将 Kontsevich 的辛形式表达为周期积分，并证明其与双覆盖奇同调上的交积配对一致。
• 利用 Darboux 坐标（同调坐标）实现辛结构，并将其与组合模型关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Jenkins-Strebel 模型中，$\psi_i$-类的组合循环庞加莱对偶是什么？
• RQ2 如何完成 Kontsevich 边界 $W_{1,1}$ 以实现与 Deligne-Mumford 紧化 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的一一对应？
• RQ3 是否可以不依赖 $\kappa$-类关系，直接用组合模型中的循环表达所有 $\lambda$-类？
• RQ4 能否仅基于平坦的组合模型，自洽地推导出线性 Hodge 积分的 KP 层次生成函数？
• RQ5 五边形移动和组合 Dehn 扭转如何对应于 $\tau_\pm$ 相位在 $W_5$ 和 $W_{1,1}$ 周围的单值性？

主要发现

• 在 $\mathrm{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}[\mathbf{p}], \mathbb{Q})$ 中，Hodge 类 $\lambda + \frac{1}{12}\sum \psi_i$ 的庞加莱对偶为 $\frac{1}{144}W_5 + \frac{13}{144}W_{1,1}$。
• Prym 类 $\lambda_P + \frac{1}{12}\sum \psi_i$ 的庞加莱对偶为 $\frac{13}{144}W_5 + \frac{25}{144}W_{1,1}$，提供了 Prym 类关系的组合类比。
• $\kappa_1$-类满足 $12\kappa_1 = W_5 + W_{1,1}$，为组合模型中一个已知关系提供了新证明。
• 比值 $\Theta_- / \Theta_+ = \left( \tau_- / |\tau_-| \right)^{48} / \left( \tau_+ / |\tau_+| \right)^{48}$ 给出 $48$-重圆丛 $S[(\chi_\kappa)^{48}]$ 的一个截面。
• $\Phi_+$（$\tau_+$ 的相位）在 $W_5$ 周围的单值性对应于五边形移动，而在 $W_{1,1}$ 周围的单值性对应于组合 Dehn 扭转。
• $\Phi_-$（$\tau_-$ 的相位）在 $W_5$ 和 $W_{1,1}$ 周围的单值性确认了相同的拓扑解释，验证了这些循环的几何作用。