[论文解读] Hodge-index type inequalities, hyperbolic polynomials and complex Hessian equations

Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文利用 Gårding 的双曲多项式理论以及复 Hessian 方程的可解性，将经典 Hodge 指数定理推广至紧致 Kähler 流形上 $(1,1)$-类的情形。该研究证明，即使某些类在特定方向上退化或为负，通过混合极化定义的二次型在原射子空间上仍为负定，从而将经典 Hodge 指数定理的适用范围扩展至 Kähler 正性之外。

ABSTRACT

It is noted that using complex Hessian equations and the concavity inequalities for elementary symmetric polynomials implies a generalized form of Hodge index inequality. Inspired by this result, using Gårding's theory for hyperbolic polynomials, we obtain a mixed Hodge-index type theorem for classes of type $(1,1)$. The new feature is that this Hodge-index type theorem holds with respect to mixed polarizations in which some satisfy particular positivity condition, but could be degenerate and even negative along some directions.

研究动机与目标

• 通过弱化曲率类的正性假设，将经典 Hodge 指数定理推广至 Kähler 度量之外的情形。
• 利用双曲多项式理论，在 $m$-正性条件下建立混合 Hodge 指数型定理。
• 统一复 Hessian 方程、初等对称多项式的凹性以及 Hodge 理论不等式。
• 将 Khovanskii-Teissier 型与 Alexandrov-Fenchel 型不等式推广至 $m$-正类。
• 探讨 $dd^c$-方程、Laplacian 方程的可解性与上同调形式的符号性质之间的关系。

提出的方法

• 应用 Gårding 的双曲多项式理论，推导上同调类的符号不等式。
• 利用复 Hessian 方程（一种 $dd^c$-方程）的可解性，将全局上同调问题约化为局部分析。
• 通过混合极化 $\omega^{n-m} \cdot \Omega \cdot \alpha_{m-1}$ 定义原射子空间 $P^{1,1}(X,\mathbb{C})$，其中 $\Omega = \alpha_1 \cdots \alpha_{m-2}$。
• 引入二次型 $Q(\beta,\gamma) = \beta \cdot \overline{\gamma} \cdot \Omega \cdot \omega^{n-m}$，并证明其在原射空间上为负定。
• 利用对称多项式的对数凹性及初等对称函数的性质，推导出 Khovanskii-Teissier 型不等式。
• 依赖 $L^2$-方法与 $dd^c$-方程的可解性，建立上同调中的单射性与分解定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典 Hodge 指数定理是否可推广至正性假设弱化为 $m$-正性的情形？
• RQ2 双曲多项式与复 Hessian 方程如何相互作用，以导出新的上同调符号不等式？
• RQ3 在混合极化条件下，当存在退化或负方向时，Hodge-Riemann 双线性关系在多大程度上可被推广？
• RQ4 是否存在一种混合 Hessian 方程，其可解性可推出广义 Hodge 指数不等式？
• RQ5 交截数的对数凹性是否可与 Hodge 指数不等式在同一框架下导出？

主要发现

• 二次型 $Q(\beta,\gamma) = \beta \cdot \overline{\gamma} \cdot \Omega \cdot \omega^{n-m}$ 在由 $\omega^{n-m} \cdot \Omega \cdot \alpha_{m-1} \cdot \gamma = 0$ 定义的原射子空间 $P^{1,1}(X,\mathbb{C})$ 上为负定。
• 空间 $H^{1,1}(X,\mathbb{C})$ 可分解为直和 $P^{1,1}(X,\mathbb{C}) \oplus \mathbb{C}\alpha_{m-1}$，推广了经典 Hodge 分解。
• 在给定的 $m$-正性条件下，映射 $\omega^{n-m} \cdot \Omega: H^{1,1}(X,\mathbb{C}) \to H^{n-1,n-1}(X,\mathbb{C})$ 为单射。
• 多项式 $Q(\beta) = \beta^2 \cdot \Omega \cdot \omega^{n-m}$ 在 $H^{1,1}(X,\mathbb{R})$ 上为完备且双曲的，意味着交截数的对数凹性。
• 序列 $a_k = \alpha^k \cdot \beta^{m-k} \cdot \omega^{n-m}$ 对于 $m$-正类 $\alpha, \beta$ 为对数凹的，且 $a_k^2 \geq a_{k+1}a_{k-1}$ 中等号成立当且仅当 $\alpha$ 与 $\beta$ 成比例。
• 证明中使用的 Laplacian 方程是 [DN06] 中所用 $dd^c$-方程的一个特例，将 PDE 的可解性与上同调符号性质联系起来。