[论文解读] Hodge theory and cohomology with compact supports

Edward L. Bueler, Igor Prokhorenkov|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 1998

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 9

一句话总结

本论文通过构造一个与在无穷远处具有快速增长的测度 dμ 相关的 Hodge--Witten--Bismut 拉普拉斯算子 Δμ，为非紧致且拓扑驯服的流形建立了 Hodge 理论。它利用具有柱状端的流形上微分形式的“零延拓”性质，证明了具有紧支集的 de Rham 上同调与 Δμ 的核之间的同构关系。

ABSTRACT

This paper constructs a Hodge theory of noncompact topologically tame manifolds $M$. The main result is an isomorphism between the de Rham cohomology with compact supports of $M$ and the kernel of the Hodge--Witten--Bismut Laplacian $\lap_μ$ associated to a measure $dμ$ which has sufficiently rapid growth at infinity on $M$. This follows from the construction of a space of forms associated to $\lap_μ$ which satisfy an ``extension by zero'' property. The ``extension by zero'' property is proved for manifolds with cylindrical ends possessing gaussian growth measures.

研究动机与目标

• 为标准 Hodge 理论因非紧致性而失效的非紧致、拓扑驯服流形发展 Hodge 理论。
• 解决在非紧致流形上，de Rham 上同调（具有紧支集）缺乏 Hodge 分解的问题。
• 构造一个与在无穷远处快速增长的测度 dμ 相关的拉普拉斯算子 Δμ，以实现定义良好的 Hodge 理论。
• 证明 Δμ 的核同构于 de Rham 上同调（具有紧支集）。
• 在具有高斯型增长测度下，建立微分形式在具有柱状端的流形上满足“零延拓”性质。

提出的方法

• 使用在无穷远处具有足够快速增长的测度 dμ，定义微分形式上的加权 L2 内积。
• 作为 de Rham 微分关于 dμ 的形式伴随，构造 Hodge--Witten--Bismut 拉普拉斯算子 Δμ。
• 证明 Δμ-不变形式的空间在具有柱状端的流形上满足“零延拓”性质。
• 利用柱状端的几何结构控制形式的衰减与增长，确保零延拓性质成立。
• 建立 Δμ 在紧支集形式空间上的谱性质，从而导出与上同调的同构关系。
• 利用流形在无穷远处的结构（柱状端）确保测度 dμ 诱导出行为良好的拉普拉斯算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为标准 Hodge 理论因非紧致性而失效的非紧致流形发展 Hodge 理论？
• RQ2 在非紧致流形上是否存在一个拉普拉斯算子 Δμ，使得其核恰好实现 de Rham 上同调（具有紧支集）？
• RQ3 在何种测度 dμ 条件下，微分形式在柱状端上满足“零延拓”性质？
• RQ4 dμ 在无穷远处的增长率如何影响 Δμ 的谱性质？
• RQ5 为使 H^k_c(M) 与 ker(Δμ) 之间同构成立，流形需要具备何种几何条件（例如柱状端）？

主要发现

• de Rham 上同调（具有紧支集）H^k_c(M) 同构于流形 M 上 Hodge--Witten--Bismut 拉普拉斯算子 Δμ 的核。
• 当测度 dμ 在无穷远处具有高斯型增长时，该同构关系对具有柱状端的非紧致、拓扑驯服流形成立。
• Δμ-不变形式的空间满足“零延拓”性质，即 ker(Δμ) 中的形式可沿柱状端光滑地延拓为零。
• 该构造依赖于流形在无穷远处的几何结构与测度 dμ 增长之间的相互作用。
• 该结果通过一个定义良好的椭圆算子的核，实现了紧支集上同调的 Hodge 理论实现。
• 该同构是典范的，不依赖于度量的选择，仅依赖于具有足够增长的测度 dμ。