[论文解读] Hofer-Zehnder semicapacity of cotangent bundles and symplectic submanifolds

Leonardo Macarini|ArXiv.org|Mar 19, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 18

一句话总结

本文引入了霍弗-策亨德$G$-半容量这一概念，这是一种对特定同伦类$G \subset \pi_1(M)$中周期轨道敏感的辛不变量。证明了任何具有自由圆周作用的几何有界辛流形$M$的开子集$N \subset M$，其$G_\varphi$-半容量有界，其中$G_\varphi$是由轨道同伦类生成的子群。这表明在接近辛子流形的几乎所有能量水平上存在可缩周期轨道，推广了金茨堡与古雷尔的结果。

ABSTRACT

We introduce the concept of Hofer-Zehnder $G$-semicapacity (or $G$-sensitive Hofer-Zehnder capacity) and prove that given a geometrically bounded symplectic manifold $(M,ω)$ and an open subset $N \subset M$ endowed with a Hamiltonian free circle action $ϕ$ then $N$ has bounded Hofer-Zehnder $G_ϕ$-semicapacity, where $G_ϕ\subset π_1(N)$ is the subgroup generated by the homotopy class of the orbits of $ϕ$. In particular, $N$ has bounded Hofer-Zehnder capacity. We give two types of applications of the main result. Firstly, we prove that the cotangent bundle of a compact manifold endowed with a free circle action has bounded Hofer-Zehnder capacity. In particular, the cotangent bundle $T^*G$ of any compact Lie group $G$ has bounded Hofer-Zehnder capacity. Secondly, we consider Hamiltonian circle actions given by symplectic submanifolds. For instance, we prove the following generalization of a recent result of Ginzburg-Gürel: almost all low levels of a function on a geometrically bounded symplectic manifold carry contractible periodic orbits of the Hamiltonian flow, provided that the function attains its minimum along a closed symplectic submanifold.

研究动机与目标

• 定义并研究一种新的辛不变量——对指定同伦类$G \subset \pi_1(M)$中周期轨道敏感的霍弗-策亨德$G$-半容量。
• 建立具有自由哈密顿圆周作用的几何有界辛流形的开子集的该半容量有界性。
• 将结果应用于证明紧李群$G$的余切丛具有有界的霍弗-策亨德容量。
• 通过证明在辛子流形上为常数的函数的几乎所有正则能量水平均携带可缩周期轨道，推广金茨堡与古雷尔的结果。

提出的方法

• 引入$G$-可接受哈密顿类${\cal H}_a^G(M,\omega)$，要求所有同伦类属于$G$的非平凡周期轨道的周期大于1。
• 将$c_{\mathrm{HZ}}^G(M,\omega)$定义为在$G$-可接受哈密顿函数$H$上$\max H$的上确界，构成$G$-敏感的霍弗-策亨德半容量。
• 将该理论应用于几何有界辛流形，其中相容几乎复结构的存在性与有界几何确保对动力系统的控制。
• 通过$\mathbb{Z}_2$-作用的商构造，将$M$上的周期轨道与$M/\mathbb{Z}_2$上的周期轨道关联，利用对称性在假设存在过度扭转轨道时导出矛盾。
• 使用具有受控导数的函数$f$进行扰动，构造预可接受哈密顿函数$H' = f \circ \widehat{H}$，保持半容量的有界性。
• 应用麦克杜夫与斯利莫维茨关于过度扭转临界点的结果，确保不存在短周期轨道，从而在存在此类轨道时导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 几何有界辛流形中具有自由圆周作用的开子集的霍弗-策亨德$G$-半容量是否保持有界？
• RQ2 当哈密顿函数在辛子流形上为常数时，是否可在其附近几乎所有能量水平上保证存在可缩周期轨道？
• RQ3 该$G$-敏感霍弗-策亨德容量与标准容量以及过度扭转临界点的存在性之间有何关系？
• RQ4 在对称哈密顿系统中，周期轨道在$\mathbb{Z}_2$商下的行为如何？
• RQ5 是否可利用$c_{\mathrm{HZ}}^G$的有界性推导出特定同伦类中周期轨道的典型存在性？

主要发现

• 对于任何具有自由哈密顿圆周作用的几何有界辛流形$M$的开子集$N \subset M$，其霍弗-策亨德$G$-半容量有界，其中$G = G_\varphi$由轨道同伦类生成。
• 任意紧李群$G$的余切丛$T^*G$具有有界的霍弗-策亨德容量，因其具有自由圆周作用。
• 对于定义在闭辛子流形$S$附近的函数$H$，若$H|_S$为常数，则几乎所有正则能量水平$H^{-1}(e)$均携带可缩周期轨道。
• 若哈密顿函数$H$无过度扭转临界点，则其$\mathbb{Z}_2$-对称平均$\widehat{H}$也无过度扭转临界点。
• 若构造扰动哈密顿函数$H' = f \circ \widehat{H}$满足$|f'| \leq 1 + 2\delta$，则当$X_H$或$X_{H \circ \psi}$具有短周期轨道时将导致矛盾，从而证明半容量的有界性。
• 对于辛嵌入，弱单调性性质$c_{\mathrm{HZ}}^{\psi_*^{-1}H}(N,\tau) \leq c_{\mathrm{HZ}}^H(M,\omega)$成立，支持半容量在拉回下的不变性。