[论文解读] Holder continuity of solutions to the complex Monge-Ampere equations on compact Kahler manifolds

Phạm Hoàng Hiệp|ArXiv.org|Apr 27, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过证明：若非负Radon测度 $\mu$ 满足一致增长条件 $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$，则对任意 $f \in L^p(d\mu)$（$p > 1$），方程 $\omega_u^n = f d\mu$ 存在Hölder连续解 $u$，从而建立了关于紧Kähler流形上复Monge-Ampère方程结果的一个部分逆定理。该结果可推广至由 $C^1$ 超曲面诱导的测度及加权测度，为在适度测度条件下解的正则性提供了精确的临界阈值。

ABSTRACT

We study Hölder continuity of solutions to the Monge-Ampère equations on compact Kähler manifolds. In [DNS] the authors have shown that the measure $ω_u^n$ is moderate if $u$ is Hölder continuous. We prove a theorem which is a partial converse to this result.

研究动机与目标

• 建立关于Hölder连续次解蕴含测度适度性的结果的局部逆定理。
• 刻画使得复Monge-Ampère方程 $\omega_u^n = f d\mu$ 存在Hölder连续解的非负Radon测度类。
• 将正则性结果推广至具有低维Hausdorff型增长的测度，包括 $C^1$ 超曲面上的体积测度。
• 在弱测度假设下统一并推广复势论中的稳定性和容量估计。
• 提供测度 $\mu$ 的充分条件，以确保紧Kähler流形上复Monge-Ampère方程解的Hölder连续性。

提出的方法

• 利用容量 $C_X$ 和Alexander容量 $T_X$ 控制测度增长，并将其与 $\Cal{H}(\alpha,A)$ 条件关联。
• 应用Kolodziej的 $L^p$-稳定性定理及其由Dinew-Zhang改进的结果，对Monge-Ampère解实施稳定性估计。
• 在测度增长条件下，利用卷积和极大函数技巧，建立差值 $\int_K [u_\delta - u] d\mu$ 的关键估计。
• 在条件 $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$ 下证明稳定性结果，该条件蕴含 $\mu \in \Cal{H}(\infty)$。
• 利用Jensen公式和次调和函数估计控制Laplacian的增长，并将其与Hölder连续性关联。
• 通过正则化和与极大函数的比较，将主要问题约化为扰动论证，利用 $f$ 的 $L^p$ 可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种测度 $\mu$ 条件下，复Monge-Ampère方程 $\omega_u^n = f d\mu$ 在紧Kähler流形上存在Hölder连续解 $u$？
• RQ2 能否为复Monge-Ampère算子建立Hölder连续性蕴含测度适度性的结果的逆？
• RQ3 对于 $f \in L^p(d\mu)$（$p > 1$），使得 $\omega_u^n = f d\mu$ 的解具有Hölder连续性的Radon测度 $\mu$ 的最优增长速率为何？
• RQ4 体积测度在 $C^1$ 光滑超曲面 $S$ 上在多大程度上满足解Hölder正则性的条件？
• RQ5 在弱测度假设（如 $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$）下，复势论中的稳定性估计行为如何？

主要发现

• 若非负Radon测度 $\mu$ 满足对所有 $B(z,r) \subset X$ 有 $\mu(B(z,r)) \leq Ar^{2n-2+\alpha}$，则 $\mu \in \Cal{H}(\infty)$，意味着对容量增长具有强控制。
• 对任意 $f \in L^p(d\mu)$（$p > 1$）且 $\int_X f d\mu = 1$，存在Hölder连续的 $\omega$-psh解 $u$ 满足 $\omega_u^n = f d\mu$，其Hölder指数依赖于 $\alpha$、$A$、$p$ 和流形 $X$。
• 在测度增长条件下，解 $u$ 具有指数为 $\frac{\alpha - \epsilon}{2(1 + \alpha)}$ 的Hölder连续性，其中 $\epsilon > 0$ 任意。
• 推论B表明：若 $\varphi$ 是Hölder连续且 $f \in L^p(\omega_\varphi \wedge \omega^{n-1})$，则方程 $\omega_u^n = f \omega_\varphi \wedge \omega^{n-1}$ 存在Hölder连续解。
• 推论C建立：对任意 $C^1$ 光滑超曲面 $S$ 及 $f \in L^p(dV_S)$（$p > 1$），方程 $\omega_u^n = f dV_S$ 存在Hölder连续解。
• 证明依赖于一个稳定性估计，控制 $\int_K [u_\delta - u] d\mu \leq C \delta^{\frac{\alpha - \epsilon}{2(1 + \alpha)}}$，该估计通过极大函数和卷积技巧蕴含 $u$ 的Hölder连续性。