[论文解读] Holographic codes

José I. Latorre, Germán Sierra|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Advanced Memory and Neural ComputingEngineering被引用 17

一句话总结

本文提出H码，一种由具有绝对最大纠缠的四-三态量子比特态构建的全息量子码，通过中和规则实现边界与体量子比特自由度之间的完美映射。该码表现出拓扑序，由高度非局域的哈密顿量稳定，且具有-1的拓扑纠缠熵，展示了具有体量子比特间指数级大汉明距离的新一类拓扑序量子存储器。

ABSTRACT

There exists a remarkable four-qutrit state that carries absolute maximal entanglement in all its partitions. Employing this state, we construct a tensor network that delivers a holographic many body state, the H-code, where the physical properties of the boundary determine those of the bulk. This H-code is made of an even superposition of states whose relative Hamming distances are exponentially large with the size of the boundary. This property makes H-codes natural states for a quantum memory. H-codes exist on tori of definite sizes and get classified in three different sectors characterized by the sum of their qutrits on cycles wrapped through the boundaries of the system. We construct a parent Hamiltonian for the H-code which is highly non local and finally we compute the topological entanglement entropy of the H-code.

研究动机与目标

• 构建一种全息量子码，使得边界与体自由度通过平衡叠加严格关联。
• 实现一种多体量子态，其在所有分划中均具有绝对最大纠缠，从而实现稳健的量子存储。
• 基于四-三态最大纠缠态定义张量网络，使三角形上满足中和规则（模3求和为零）。
• 推导H码的母哈密顿量，其为高度非局域的，能稳定具有拓扑序的基态。
• 计算拓扑纠缠熵并证明其在局部形变下保持不变。

提出的方法

• H码通过在二维三角晶格上使用三角形单纯形的张量网络构建，辅助三态量子比特强制执行中和规则：每个朝上的三角形满足 s₁ + s₂ + s₃ ≡ 0 (mod 3)。
• 底层的四-三态量子态 |ψ⟩ = ∑_{s,i} |s⟩_phys |i, i+s, i+2s⟩_ancillae 确保绝对最大纠缠，并作为网络的构建模块。
• 网络强制要求每一行的物理指标由其上一行指标的和决定，等价于 s₃ = -s₁ - s₂ (mod 3) 的规则。
• 该构造对全息方向的不同选择保持不变，确保晶格上的一致性。
• 推导出母哈密顿量 H = H_Z + H_X，其中 H_Z 强制执行中和规则，H_X 通过具有指数支持的非局域算符破缺 degeneracy。
• 哈密顿量 H_X 是一个高度非局域算符，涉及所有朝上三角形上 X 和 X⁻¹ 的乘积，其支持随 6^k 增长，确保 H码是给定拓扑子空间中的唯一基态。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种全息量子码，使得每个边界态通过幺正映射唯一确定一个体态？
• RQ2 由绝对最大纠缠的四-三态多体量子态构建的系统，其纠缠和拓扑性质为何？
• RQ3 如何设计一个非局域哈密顿量，以稳定具有最大纠缠和大汉明距离的拓扑量子码？
• RQ4 此类码的拓扑纠缠熵是多少？它在子系统分划的局部变化下是否保持不变？
• RQ5 H码能否被划分为不同的拓扑子空间？这些子空间是否可通过体可观测量区分？

主要发现

• H码是边界与体产品态的平衡叠加，体态由边界通过中和规则唯一确定。
• H码的拓扑纠缠熵恰好为-1，通过公式 S_top = S_ABC - S_AB - S_AC - S_BC + S_A + S_B + S_C 计算得出。
• 任意体区域A的约化密度矩阵，当 m < 3^k 个三态量子比特时，为最大混合态：ρ_A = (1/3^m) I_{3^m}，表明小子系统中完全无序。
• 母哈密顿量 H = H_Z + H_X 在给定拓扑子空间中将H码稳定为其唯一基态，其中 H_X 为高度非局域算符，支持 6^k 个算符。
• H码在体态之间表现出指数级大的汉明距离，因此因其最大可区分性而自然成为量子存储的理想候选。
• 在环面上的三个不同H码态（由S标记）无法通过体可观测量区分，证实了拓扑序。