[论文解读] Holographic Lifshitz flows and the null energy condition

James T. Liu, Zhichen Zhao|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文研究了全息Lifshitz时空及其在爱因斯坦重力中，由零能量条件（NEC）对Lifshitz固定点之间流的约束。与有效AdS半径单调增加的相对论性$c$-定理不同，NEC允许Lifshitz动力学指数$z$和有效半径$L$在任一方向上流动，这一点通过带有大质量规范场和标量的模型中的数值解得到证明。关键结果是NEC对$z$和$d$与$\theta$的$z$-依赖组合施加了不等式约束，但并未强制要求$c$-函数表现出单调行为。

ABSTRACT

We study asymptotically Lifshitz spacetimes and the constraints on flows between Lifshitz fixed points imposed by the null energy condition. In contrast with the relativistic holographic c-theorem, where the effective AdS radius, L, is monotonically decreasing in the IR, for Lifshitz backgrounds we find that both L and z may flow in either direction. We demonstrate this with several numerical examples in a phenomenological model with a massive gauge field coupled to a real scalar.

研究动机与目标

• 研究零能量条件（NEC）对非相对论性量子场论中全息Lifshitz固定点之间流的影响。
• 确定NEC是否强制类似于反德西特时空中相对论性$c$-定理的$c$-函数表现出单调行为。
• 探讨在NEC作用下，动力学指数$z$和有效AdS半径$L$是否必须单调流动，或是否允许方向性流动。
• 分析Lifshitz时空中出现的几何与物理约束，特别是具有超尺度违反的情形。
• 通过提出在流中插值的$z(r)$和$\theta(r)$函数，将$c$-函数行为的理解从固定点扩展至整个流。

提出的方法

• 以零向量$k^\mu$的里奇张量收缩$R_{\mu\nu}k^\mu k^\nu \geq 0$的形式推导NEC条件，将其转化为对度规函数的几何约束。
• 采用一个包含动力学指数$z$和有效半径$L(r)$的体积分度规假设$ds^2 = -e^{2zr/L}dt^2 + e^{2r/L}d\vec{x}^2 + dr^2$，以模拟Lifshitz时空。
• 将NEC应用于有效度规函数$A(r)$和$B(r)$，导出涉及$A''$、$B''$及其组合的不等式。
• 构建一个包含大质量规范场和实标量的范式模型，以数值方式实现Lifshitz流并检验NEC约束。
• 通过$A(r)$和$B(r)$导数的比值提出插值函数$z(r)$和$\theta(r)$，以在流中扩展固定点的定义。
• 分析所得不等式$(d-1-\theta)((z-1)(d-1)-\theta) \geq 0$和$(z-1)(z+d-1-\theta) \geq 0$作为沿流满足NEC的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 零能量条件是否能约束Lifshitz时空中动力学指数$z$和有效半径$L$的流动方向？
• RQ2 NEC是否强制在非相对论性全息流中，类似于反德西特时空中的相对论性$c$-定理，使$c$-函数表现出单调行为？
• RQ3 在NEC作用下，超尺度违反参数$\theta$和$z$如何演化？它们在流中是否可增加或减少？
• RQ4 是否可以利用几何量在Lifshitz流中一致地定义$c$-函数，而不仅限于固定点？
• RQ5 当流趋近于AdS$_2 \times \mathbb{R}^{d-1}$固定点时，NEC的几何与物理含义是什么？

主要发现

• 零能量条件并不要求有效Lifshitz半径$L(r)$或动力学指数$z(r)$单调流动，允许两者在流中增加或减少。
• 在包含大质量规范场和标量场的模型中，数值解表明$z$和$L$可在满足NEC的前提下沿任一方向流动。
• NEC导出两个不等式：$(d-1-\theta)((z-1)(d-1)-\theta) \geq 0$和$(z-1)(z+d-1-\theta) \geq 0$，这些不等式在固定点必须成立，当推广至流时，可约束流动行为。
• 所提出的插值函数$z(r)$和$\theta(r)$使得第一个NEC不等式可在整个流中统一表达，但第二个不等式缺乏简洁的几何形式。
• 标准$c$-函数构造因$z(r)$和$L(r)$的非单调性而无法捕捉全部NEC约束，表明$c$-定理不能直接推广至Lifshitz流。
• 在AdS$_2 \times \mathbb{R}^{d-1}$极限下，$L(r) \to \infty$且$z(r) \to \infty$，同时$z(r)/L(r)$保持固定，表明主分析中使用的$L(r)$和$z(r)$定义在此处失效。