[论文解读] Holographic $T\bar{T}$ deformed entanglement entropy in dS$_3$/CFT$_2$

Deyou Chen, Xin Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2023

Black Holes and Theoretical PhysicsPhysics and Astronomy被引用 3

一句话总结

本文提出了一种全息的 $T\bar{T}$-形变 $\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 对应关系，其中通过在 $T\bar{T}$-形变的二维共形场论中使用复制方法，计算了 2-球面上两个对跖点的纠缠熵。结果与体量子 $\text{dS}_3$ 中的复测地线长度完全一致，实部对应类空测地线，虚部对应类时测地线，从而在非幺正 de Sitter 全息中精确确认了伪熵的对偶性。

ABSTRACT

In this paper, based on the $T\bar{T}$ deformed version of $ ext{dS}_3/ ext{CFT}_2$ correspondence, we calculate the pseudoentropy for an entangling surface consisting of two antipodal points on a sphere and find it is exactly dual to the complex geodesic in the bulk.

研究动机与目标

• 将 $\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 对应关系扩展至包含 $T\bar{T}$ 形变，从而实现 de Sitter 空间中量子引力的有限时间片描述。
• 在有限体积的空间片上，计算 $T\bar{T}$-形变的二维共形场论中两点纠缠表面的纠缠熵。
• 检验所得的伪熵是否与 $\text{dS}_3$ 体中的复测地线长度匹配，如 de Sitter 时空中的 Ryu-Takayanagi 公式所预测。
• 建立 $T\bar{T}$-形变共形场论与有限时间体几何之间的全息对偶，将 $\text{AdS}/T\bar{T}$-CFT 对应推广至 de Sitter 空间。

提出的方法

• 通过流方程 $\partial_\lambda \log Z = -2\pi \int_{\Sigma} d^2x \sqrt{\gamma} \langle T\bar{T} \rangle_\lambda$ 微扰实现 $T\bar{T}$ 形变，形变参数 $\lambda \sim \mathcal{O}(1/c)$。
• 利用 Wheeler-DeWitt 方程和 $T\bar{T}$ 流，计算了在 2-球面上 $T\bar{T}$-形变的 QFT 的配分函数，得到具有实部和虚部的复对数配分函数。
• 在 $n$-叶覆盖上使用复制方法，度量为 $ds^2 = r^2(d\theta^2 + n^2 \sin^2\theta \, d\phi^2)$，计算纠缠伪熵，得到 $S_A = (1 - n\partial_n)\log Z_n \big|_{n=1}$。
• $\log Z_n$ 对 $n$ 的变分与应力张量的迹相关，关系为 $n\partial_n \log Z_n = -\frac{1}{2} \int d^2x \sqrt{\gamma} \, T_a^a = \frac{r}{2} \frac{d}{dr} \log Z_{\text{QFT}}$。
• 在 $\text{dS}_3$ 中使用度量 $ds^2 = -\cosh^2 t \, dt^2 + \ell_{\text{dS}}^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)$ 计算了对跖点之间的体测地线距离，得到 $D = \ell_{\text{dS}} \pi - 2i \ell_{\text{dS}} t$。
• 应用 Ryu-Takayanagi 公式 $S_A = D / (4G_N)$，并通过 $G_N \sim 1/c_{\text{dS}}$ 确定牛顿常数，与场论结果完全匹配。

Figure 1: The $T\bar{T}$ -deformed version of the $\text{dS}_{3}$ / $\text{CFT}_{2}$ correspondence, with the Lorentzian time $t$ in the global coordinates of the $\text{dS}_{3}$ spacetime.

实验结果

研究问题

• RQ1 该 $T\bar{T}$-形变的 $\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 对应关系是否能正确再现两点纠缠表面的纠缠熵？
• RQ2 在非幺正的 $T\bar{T}$-形变共形场论中，伪熵是否能全息地与 $\text{dS}_3$ 中的复测地线匹配？
• RQ3 纠缠熵的实部是否与类空测地线长度成正比，虚部是否与类时测地线对应，如 Ryu-Takayanagi 规范所预测？
• RQ4 $T\bar{T}$ 形变如何影响 de Sitter 空间中的全息纠缠熵，特别是在有限时间片区域？

主要发现

• 在 $T\bar{T}$-形变共形场论中，$\mathbb{S}^2$ 上两点对跖点的伪熵为 $S_A = \frac{c_{\text{dS}}}{6}\pi - i\frac{c_{\text{dS}}}{3}t$，实部与类空测地线匹配，虚部与类时测地线匹配。
• 在相同时间下，对跖点之间的体测地线距离为 $D = \ell_{\text{dS}} \pi - 2i \ell_{\text{dS}} t$，当 $S_A = D / (4G_N)$ 时，与场论结果一致。
• 通过识别 $G_N \sim 1/c_{\text{dS}}$，得到 $S_A = \frac{c_{\text{dS}}}{6}\pi - i\frac{c_{\text{dS}}}{3}t$，确认了场论伪熵与复测地线长度之间的对偶性。
• $T\bar{T}$ 形变在配分函数中引入了虚部偏移，这导致了纠缠熵的复结构，与 de Sitter 空间中非幺正共形场论一致。
• 结果证实，$T\bar{T}$-形变的 $\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 对应关系与柯西片全息一致，其中时间作为径向方向出现。
• 复测地线结构——包含一条类空测地线和两条类时测地线——与 Ryu-Takayanagi 公式中的极值面匹配，验证了 de Sitter 空间中全息纠缠熵的正确性。