[论文解读] Holographic Timelike Entanglement Entropy from Rindler Method

Peng-Zhang He, Hai-Qing Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2023

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 48被引用 5

一句话总结

本文通过引入类时截断并应用Rindler方法，在AdS₃中推导出2D CFT中类时纠缠熵的全息对偶，提出了一种类时纠缠熵的新定义。通过解析延拓类空间纠缠熵并将Rindler变换视为连接类时区域与热态的工具，作者推导出包含复常数 $ i c \pi / 6 $ 的引力对偶，其中 $ c $ 为中心电荷，从而为全息类时纠缠熵提供了自洽的框架。

ABSTRACT

For a Lorentzian invariant theory, the entanglement entropy should be a function of the domain of dependence of the subregion under consideration. More precisely, it should be a function of the domain of dependence and the appropriate cut-off. In this paper, we refine the concept of cut-off to make it applicable to timelike regions and assume that the usual entanglement entropy formula also applies to timelike intervals. Using the Rindler method, the timelike entanglement entropy can be regarded as the thermal entropy of the CFT after the Rindler transformation plus a constant $icπ/6$ with $c$ the central charge. The gravitational dual of the `covariant' timelike entanglement entropy is finally presented following this method.

研究动机与目标

• 通过引入类时截断 $ \varepsilon^T $，将标准纠缠熵形式化扩展至类时子区域，以定义类时纠缠熵。
• 将先前用于类空间纠缠的Rindler方法，应用于2D CFT中的类时区间。
• 通过Rindler变换与共形映射，推导AdS₃中类时纠缠熵的引力对偶。
• 通过变换后与热熵的关联，阐明类时纠缠熵的物理意义。
• 推测存在一种‘对偶变换’（时间与空间互换），使纠缠熵保持不变，仅增加复常数 $ i c \pi / 6 $。

提出的方法

• 引入类时截断 $ \varepsilon^T $ 以替代标准的类空间截断 $ \varepsilon $，从而定义类时纠缠熵 $ S^{(t)} = S(\mathcal{D}, \varepsilon^T) $。
• 应用Rindler变换将类时区间映射至Rindler楔形区域，将真空态转化为CFT中的热态。
• 利用共形变换技术，将所得热熵与原始参考系中的纠缠熵关联起来。
• 通过AdS/CFT对应关系，将CFT中的热态映射至全息AdS₃中的黑洞几何，从而获得全息对偶。
• 在解析延拓热分区函数时，自然引入复修正项 $ i c \pi / 6 $，其结构与Rindler变换一致。
• 推测存在一种‘对偶变换’ $ u \to u, v \to -v $，可交换类时与类空间结构，并保持纠缠熵不变，仅增加相同的复常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在洛伦兹CFT中，如何对类时子区域一致地定义纠缠熵？
• RQ2 截断在定义类时纠缠熵中的作用是什么？与类空间情况有何不同？
• RQ3 在类空间纠缠中成功应用的Rindler方法，能否推广至类时区间？
• RQ4 在AdS₃/CFT₂中，类时纠缠熵的引力对偶是什么？
• RQ5 为何所得纠缠熵包含一个虚数常数 $ i c \pi / 6 $？其物理意义为何？

主要发现

• 类时纠缠熵的表达式为 $ S_A^{(t)} = \frac{c}{3} \log\left[ \frac{R}{\pi \epsilon} \sin\left( \frac{\pi T_0}{R} \right) \right] + \frac{i\pi c}{6} $，其中 $ T_0 $ 为类时区间的长度，$ \epsilon $ 为类时截断。
• 当 $ R \to \infty $ 时，表达式简化为 $ S_A^{(t)} = \frac{c}{3} \log\left( \frac{T_0}{\epsilon} \right) + \frac{i\pi c}{6} $，与解析延拓方法所得形式一致。
• Rindler变换将真空态映射为热态，CFT中所得热熵与类时纠缠熵相差一个复常数 $ i c \pi / 6 $。
• 类时纠缠熵的引力对偶通过将热态映射至全息空间中的黑洞几何而获得，与AdS/CFT对应关系一致。
• 复修正项 $ i c \pi / 6 $ 源于热分区函数的解析延拓，且在所提议的对偶变换下保持不变。
• 作者推测，对偶变换 $ v \to -v $ 使纠缠熵保持不变，仅增加相同的复常数，暗示类时纠缠背后存在更深层次的对称性。