[论文解读] Holography and Riemann Surfaces

Kirill Krasnov|ArXiv.org|May 11, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文通过使用经典施瓦茨群对欧几里得反 de Sitter 三维空间（Euclidean AdS₃）进行离散商化，将 2+1 维全息理论推广至具有任意亏格黎曼曲面边界且渐近为反 de Sitter 的空间。结果表明，正则化的引力作用量精确复现了塔赫塔扬与佐格拉夫所定义的黎曼曲面上的黎曼理论作用量，建立了全息对偶关系，将坦勒理论与全息热力学联系起来，并在高亏格曲面上实现了边界共形场论（CFT）作用量的经典实现。

ABSTRACT

We study holography for asymptotically AdS spaces with an arbitrary genus compact Riemann surface as the conformal boundary. Such spaces can be constructed from the Euclidean AdS_3 by discrete identifications; the discrete groups one uses are the so-called classical Schottky groups. As we show, the spaces so constructed have an appealing interpretation of ``analytic continuations'' of the known Lorentzian signature black hole solutions; it is one of the motivations for our generalization of the holography to this case. We use the semi-classical approximation to the gravity path integral, and calculate the gravitational action for each space, which is given by the (appropriately regularized) volume of the space. As we show, the regularized volume reproduces exactly the action of Liouville theory, as defined on arbitrary Riemann surfaces by Takhtajan and Zograf. Using the results as to the properties of this action, we discuss thermodynamics of the spaces and analyze the boundary CFT partition function. Some aspects of our construction, such as the thermodynamical interpretation of the Teichmuller (Schottky) spaces, may be of interest for mathematicians working on Teichmuller theory.

研究动机与目标

• 将 2+1 维全息理论从简单的边界拓扑推广至任意亏格的黎曼曲面作为共形边界。
• 通过经典施瓦茨群的离散商化构造具有非平凡拓扑的欧几里得 AdS₃ 空间。
• 证明此类空间的正则化经典解上作用量精确匹配塔赫塔扬与佐格拉夫所定义的黎曼曲面上的黎曼理论作用量。
• 从热力学角度解释所得几何结构，并在半经典近似下推导边界 CFT 作用量。
• 将坦勒空间与施瓦茨空间的数学结构与全息引力可观测量（如热力学参数与关联函数）联系起来。

提出的方法

• 通过经典施瓦茨群对欧几里得 AdS₃ 进行商化，构造具有任意亏格黎曼曲面边界的渐近反 de Sitter 空间。
• 采用引力路径积分的半经典近似，其中配分函数由匹配给定边界度量的类经典解的上壳作用量决定。
• 通过体积重整化正则化引力作用量，为每种此类空间获得有限且明确定义的量。
• 利用贝尔特拉米微分与二次微分之间的配对，将正则化作用量识别为塔赫塔扬与佐格拉夫所定义的黎曼曲面上的黎曼理论作用量。
• 借助韦尔-彼得森度量与坦勒理论，将黎曼曲面的模空间解释为这些体积分形的参数空间。
• 将施瓦茨群参数映射为热力学变量，其中施瓦茨导数展开中的系数 $ c_i^ u $ 充当广延参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 全息理论能否被有意义地推广至共形边界为任意亏格黎曼曲面的渐近反 de Sitter 空间？
• RQ2 此类空间的正则化引力作用量与二维共形场论中的已知作用量有何关系？
• RQ3 在全息引力与热力学的背景下，坦勒空间与施瓦茨空间的物理意义是什么？
• RQ4 施瓦茨群的参数如何对应于边界 CFT 中的热力学量？
• RQ5 在该推广的全息设定下，边界 CFT 作用量能否从体积分引力路径积分中导出？

主要发现

• 具有任意亏格黎曼曲面边界的欧几里得 AdS₃ 空间的正则化上壳引力作用量，精确复现了塔赫塔扬与佐格拉夫所定义的黎曼曲面上的黎曼理论作用量。
• 该构造将这些空间实现为具有内部虫洞拓扑的洛伦兹性黑洞解的“解析延拓”，从而将欧几里得与洛伦兹性全息理论联系起来。
• 统一化映射的施瓦茨导数展开中的参数 $ c_i^ u $ 对应于广延热力学参数，而施瓦茨坐标 $ ho_i $ 则作为强度参数。
• 边界 CFT 作用量完全由体积分引力路径积分在半经典极限下决定，其结果等价于黎曼曲面上的黎曼理论作用量。
• 从体积分形几何中自然出现坦勒空间上的韦尔-彼得森度量，提供了一个在模群作用下不变的凯勒结构。
• 从坦勒空间到施瓦茨空间的映射允许向量场与二次微分的提升，从而实现了对偶 CFT 模依赖关系的几何实现。