[论文解读] Holomorphic curves in the presence of holomorphic hypersurface foliations

Agustín Moreno, Richard Siefring|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文在稳定哈密顿流形中的伪全纯曲线满足渐近轨道的法向Conley–Zehnder指标受约束的条件下，建立了其必须完全位于由全纯超曲面构成的 $ $-不变叶层中的条件。关键结果是：投影映射到基面的次数恰好在曲线包含于某一片叶时为零，且该次数的正负由Morse函数的临界点处的符号条件决定。

ABSTRACT

We prove a result which establishes restrictions on the pseudoholomorphic curves which can exist in a stable Hamiltonian manifold in the presence of certain $\mathbb{R}$-invariant foliations of the symplectization by holomorphic hypersurfaces. This result has applications in the first author's work on algebraic torsion in higher dimensional contact manifolds.

研究动机与目标

• 建立在具有全纯超曲面的 $ $-不变叶层的稳定哈密顿流形中，伪全纯曲线存在的拓扑障碍。
• 分析在曲面上的 $f$-可接受纤维丛中，带 punctures 的伪全纯曲线与纤维的辛法丛之间的行为关系。
• 根据从辛法丛到基面切空间的投影映射的符号，确定此类曲线必须被包含于叶层中的条件。
• 通过Conley–Zehnder指标约束，将投影映射到基面的次数与曲线被包含于叶层的关系联系起来。

提出的方法

• 定义一个 $f$-可接受纤维丛 $(\Sigma, p, Y, f)$，其中在Morse函数 $f$ 的临界点上的纤维为强稳定哈密顿超曲面。
• 利用投影 $p_*$ 的定向行为，构造辛法丛 $\xi_V^\perp$ 的优选同伦类的辛平凡化。
• 利用在极点处的法向Conley–Zehnder指标 $\mu_N^\Phi(\gamma_{z}^{m_z}) \in \{-1, 0, 1\}$ 控制渐近行为和卷绕数。
• 定义投影映射 $\bar{v}: S \setminus \Gamma \to \Sigma$，并使用相对卷绕数 $\operatorname{wind}_{\text{rel}}^\Phi$ 和渐近卷绕数 $\operatorname{wind}_\infty^\Phi$ 计算其次数。
• 应用推论 2.8 表明：若次数为零且曲线与某一片叶相交，则曲线必须完全包含于该叶中。
• 利用投影映射 $p_*$ 的符号确定次数的符号：若所有临界点处 $\operatorname{sign}(w) = 1$，则次数为正；若 $\operatorname{sign}(w) = -1$，则次数为负；若符号混合，则次数为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，稳定哈密顿流形中的带 punctures 伪全纯曲线会被强制包含于由全纯超曲面构成的 $ $-不变叶层的单一片中？
• RQ2 从辛法丛到基面切空间的投影 $p_*$ 的符号如何影响投影映射到基面的次数？
• RQ3 渐近轨道的法向Conley–Zehnder指标在决定曲线是否被包含于叶层中起什么作用？
• RQ4 投影映射 $\bar{v}$ 的次数在何时为零，这又对曲线相对于叶层的位置意味着什么？
• RQ5 能否仅通过度数和卷绕数等拓扑不变量来表征伪全纯曲线被包含于某一片叶中？

主要发现

• 若对所有临界点 $w \in \operatorname{crit}(f)$ 都有 $\operatorname{sign}(w) = 1$，则投影映射 $\bar{v}$ 的次数非负，且当且仅当 $\tilde{u}$ 的像包含于叶层 $\mathcal{F}$ 中时次数为零。
• 若对所有临界点 $w \in \operatorname{crit}(f)$ 都有 $\operatorname{sign}(w) = -1$，则投影映射 $\bar{v}$ 的次数非正，且当且仅当 $\tilde{u}$ 的像包含于叶层 $\mathcal{F}$ 中时次数为零。
• 若符号函数 $\operatorname{sign}: \operatorname{crit}(f) \to \{-1,1\}$ 是满射，则 $\deg(\bar{v}) = 0$，且 $\tilde{u}$ 的像包含于叶层 $\mathcal{F}$ 中。
• 投影映射 $\bar{v}$ 的次数恰好在所有极点 $z \in \Gamma^\pm$ 处满足 $\operatorname{wind}_{\text{rel}}^\Phi((C;z), Y_{w_z}) = 0$，且 $u(S \setminus \Gamma)$ 的像与所有临界点处的纤维 $Y_w$ 均不相交时为零。
• 证明依赖于推论 2.8：若 $\deg(\bar{v}) = 0$ 且 $\tilde{u}$ 与某一片叶 $\tilde{Y}$ 相交，则 $\tilde{u}$ 必须完全包含于 $\tilde{Y}$ 中，否则将因不相交性和卷绕数条件而产生矛盾。
• 该结果在所有渐近轨道的法向Conley–Zehnder指标属于 $\{-1, 0, 1\}$ 的假设下成立，这确保了不等式 $\mp \alpha_N^{\Phi;\mp}(\gamma_z^{m_z}) \geq 0$ 成立。