[论文解读] Holomorphic Deformations of Balanced Calabi-Yau $\partial\bar\partial$-Manifolds

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用 9

一句话总结

本文引入了平衡 Calabi-Yau ∂̄∂̄-流形的共极化形变——即满足 ∂̄∂̄-引理、平凡 canonical bundle 及具有平衡 Hermitian 度量的紧致复流形——推广了经典的 Kähler 共极化形变理论。研究证明，在此更广泛的非 Kähler 框架下，Weil-Petersson 度量与局部 Torelli 定理依然成立，并仅通过 ∂̄∂̄-引理证明了此类流形的 Kuranishi 家族的无阻碍性。

ABSTRACT

Given a compact complex $n$-fold $X$ satisfying the $\partial\bar\partial$-lemma and supposed to have a trivial canonical bundle $K_X$ and to admit a balanced (=semi-Kähler) Hermitian metric $ω$, we introduce the concept of deformations of $X$ that are {\bf co-polarised} by the balanced class $[ω^{n-1}]\in H^{n-1,\,n-1}(X,\,\C)\subset H^{2n-2}(X,\,\C)$ and show that the resulting theory of balanced co-polarised deformations is a natural extension of the classical theory of Kähler polarised deformations in the context of Calabi-Yau or even holomorphic symplectic compact complex manifolds. The concept of Weil-Petersson metric still makes sense in this strictly more general, possibly non-Kähler context, while the Local Torelli Theorem still holds.

研究动机与目标

• 为平衡 Calabi-Yau ∂̄∂̄-流形发展一种形变理论，推广经典的 Kähler 共极化形变理论。
• 证明 Weil-Petersson 度量与局部 Torelli 定理在非 Kähler 的 ∂̄∂̄-框架下依然成立。
• 仅通过 ∂̄∂̄-引理证明 Calabi-Yau ∂̄∂̄-流形的 Kuranishi 家族是无阻碍的。
• 通过 H^{n-1,n-1}(X, ℂ) 中的平衡类 [ω^{n-1}] 定义并研究共极化形变。
• 建立平衡 ∂̄∂̄-性质在小全纯形变与修改下的稳定性。

提出的方法

• 通过固定 Dolbeault 上同调类 [ω^{n-1}] ∈ H^{n-1,n-1}(X, ℂ) 作为形变不变量，引入共极化形变的概念。
• 应用 ∂̄∂̄-引理，将 Bogomolov-Tian-Todorov 定理推广至非 Kähler Calabi-Yau 流形。
• 利用 Wu 的形变开性结果，证明平衡 ∂̄∂̄-性质在小全纯形变下保持不变。
• 在附录中使用局部全纯坐标与 ω^{n-1} 上的余量与 ∂̄-作用的显式计算，验证恒等式。
• 依赖于 ∂̄∂̄-引理诱导的 De Rham 与 Dolbeault 上同调之间的典范同构。
• 应用 Kuranishi 家族构造，并仅通过 ∂̄∂̄-引理证明无阻碍性，无需假设 Kähler 或类 𝒞 条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的 Kähler 共极化形变理论能否推广至非 Kähler 的平衡 Calabi-Yau ∂̄∂̄-流形？
• RQ2 Weil-Petersson 度量在 ∂̄∂̄-非 Kähler 框架下是否仍具有意义与几何重要性？
• RQ3 局部 Torelli 定理对平衡 Calabi-Yau ∂̄∂̄-流形是否仍然成立？
• RQ4 仅通过 ∂̄∂̄-引理能否确立 Kuranishi 家族的无阻碍性，而无需假设 Kähler 或类 𝒞？
• RQ5 共极化类 [ω^{n-1}] 在复结构的小全纯形变下行为如何？

主要发现

• Calabi-Yau ∂̄∂̄-流形的 Kuranishi 家族是无阻碍的，意味着其底空间局部同构于 H^{0,1}(X, T^{1,0}X) 的开子集。
• Weil-Petersson 度量在平衡共极化形变的 ∂̄∂̄-流形语境中是良好定义且具有意义的。
• 局部 Torelli 定理对平衡 Calabi-Yau ∂̄∂̄-流形成立，意味着复结构由 Hodge 结构局部决定。
• 平衡类 [ω^{n-1}] ∈ H^{n-1,n-1}(X, ℂ) 在小全纯形变下保持不变，确保共极化性得以保持。
• 仅通过 ∂̄∂̄-引理即可将 Bogomolov-Tian-Todorov 定理推广至非 Kähler Calabi-Yau 流形。
• 平衡 ∂̄∂̄-流形的形变理论在小全纯形变下是开的，将 Wu 的结果扩展至共极化框架。