[论文解读] Holomorphic extension of representations: (I) automorphic functions

Bernhard Kroetz, Robert J. Stanton|ArXiv.org|Oct 7, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文在实半单李群 $G$ 的复化 $G_C$ 中构造了一个最大的 $K_C$-$G$ 双陪集域，证明了 $G$ 在任意不可约酉表示的 $K$-有限向量上的作用可沿此域全纯延拓。论文建立了对全纯延拓后的矩阵系数在域边界处奇点和边界行为的精确估计，从而实现了对自守函数的 $L^∞$ 估计以及对 Maaß 形式和 Rankin-Selberg 乘积的 Fourier 系数的统一衰减率估计。

ABSTRACT

Let G be a connected, real, semisimple Lie group contained in its complexification G_C, and let K be a maximal compact subgroup of G. We construct a K_C-G double coset domain in G_C, and we show that the action of G on the K-finite vectors of any irreducible unitary representation of G has a holomorphic extension to this domain. For the resultant holomorphic extension of K-finite matrix coefficients we obtain estimates of the singularities at the boundary, as well as majorant/minorant estimates along the boundary. We obtain L^\infty bounds on holomorphically extended automorphic functions on G/K in terms of Sobolev norms, and we use these to estimate the Fourier coefficients of combinations of automorphic functions in a number of cases, e.g. of triple products of Maass forms.

研究动机与目标

• 在 $G_C$ 中构造一个通用的、最大的 $K_C$-$G$ 双陪集域 $\Omega$，使得 $G$ 在任意不可约酉表示的 $K$-有限向量上的作用可全纯延拓至 $\Omega$。
• 推导全纯延拓后的 $K$-有限矩阵系数在域边界处奇点的精确估计。
• 通过 Sobolev 范数建立 $G/K$ 上自守函数的 $L^∞$ 估计，以应用于 Fourier 系数的衰减问题。
• 提供一种统一的、基于表示论的证明方法，用于推导实秩一与高秩群上 Maaß 形式及 Rankin-Selberg 乘积的 Fourier 系数衰减率估计。
• 验证 Sarnak 关于 Maaß 形式组合的 Fourier 系数指数衰减率的猜想的统一版本。

提出的方法

• 利用 Iwasawa 分解和李代数 $\mathfrak{g}$ 的复化，结合 Cartan 分解 $\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$ 和根空间分解，构造 $G_C$ 中的 $K_C$-$G$ 双陪集域。
• 利用 Iwasawa 分解 $G = KAN$ 及其复化，定义域 $\Omega = K_C A_C^1 N_C \cap G_C$，并证明其在某些方向上是最大的。
• 通过解析延拓技术，利用 $g \in G$ 上 $\kappa(g), a(g), n(g)$ 的全纯依赖性，将 $G$ 在 $K$-有限向量上的作用全纯延拓至 $\Omega$。
• 通过分析 $K_C A_C^1 N_C$ 中 $a_z k_\theta$ 的行为，利用复解析函数 $z' = \sqrt{z^2 + \sin^2\theta(1/z^2 - z^2)}$，在域边界上导出主要估计与次要估计。
• 通过 Sobolev 范数估计，利用矩阵系数的全纯延拓，建立自守函数的 $L^\infty$ 估计。
• 将这些估计应用于自守形式乘积的 Fourier 系数估计，包括 Maaß 形式的三重乘积和 Rankin-Selberg 卷积。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $G_C$ 中构造一个通用的、最大的域，使得 $G$ 在任意不可约酉表示的 $K$-有限向量上的作用可全纯延拓至该域？
• RQ2 全纯延拓后的 $K$-有限矩阵系数在域边界处的奇点与增长行为的精确估计是什么？
• RQ3 如何通过全纯延拓，利用 Sobolev 范数导出 $G/K$ 上自守函数的 $L^\infty$ 估计？
• RQ4 实秩一群上 Maaß 形式组合的 Fourier 系数的统一衰减率是多少？能否通过表示论方法证明？
• RQ5 能否利用全纯延拓技术，统一验证 Sarnak 关于 Maaß 形式乘积的 Fourier 系数指数衰减率的猜想？

主要发现

• $G$ 在任意不可约酉表示的 $K$-有限向量上的作用可全纯延拓至一个最大的 $K_C$-$G$ 双陪集域 $\Omega \subset G_C$，且该域在某些方向上被证明是最大的。
• 全纯延拓后的 $K$-有限矩阵系数在 $\Omega$ 的边界上具有精确的主要估计与次要估计，其奇点由域的复解析结构所控制。
• 论文通过矩阵系数的全纯延拓，建立了 $G/K$ 上自守函数的 $L^\infty$ 估计，其表达式基于 Sobolev 范数。
• 为实秩一群上的 Maaß 形式三重乘积的 Fourier 系数，提供了猜想的指数衰减率的统一证明。
• 对于 $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$，该方法给出了 Maaß 形式 Rankin-Selberg 乘积的 Fourier 系数衰减率的估计。
• 给出了 Good 关于 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 中余有限体积子群上 Rankin-Selberg 乘积的 Fourier 系数增长率结果的直观简洁证明。