[论文解读] Holomorphic isometries from the Poincaré disk into bounded symmetric domains of rank at least two

Shan Tai Chan, Yuan Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文表征了从庞加莱圆盘到单位圆盘与复单位球面乘积的全纯等距映射，并构造了一个实1参数族的非合同等距映射。进一步将这些构造推广至秩至少为二的不可约有界对称域（排除类型IV），证明了存在具有无理分量的非标准边界延拓等距映射。

ABSTRACT

We first study holomorphic isometries from the Poincaré disk into the product of the unit disk and the complex unit $n$-ball for $n\ge 2$. On the other hand, we observe that there exists a holomorphic isometry from the product of the unit disk and the complex unit $n$-ball into any irreducible bounded symmetric domain of rank $\ge 2$ which is not biholomorphic to any type-$\mathrm{IV}$ domain. In particular, our study provides many new examples of holomorphic isometries from the Poincaré disk into irreducible bounded symmetric domains of rank at least $2$ except for type-$\mathrm{IV}$ domains.

研究动机与目标

• 完全表征从庞加莱圆盘到单位圆盘与复单位 $n$-球面（$n \geq 2$）乘积的全纯等距映射。
• 构造从庞加莱圆盘到此类乘积的实1参数族相互非合同的全纯等距映射。
• 将这些构造推广至秩 $\geq 2$ 的不可约有界对称域（排除类型IV），证明非标准等距映射的存在性。
• 通过构造具有无理分量函数的新例子，解决莫克关于全纯等距映射边界延拓的问题。
• 提供一种系统方法，通过乘积域嵌入生成高秩对称域中非全测地全纯等距映射的新族。

提出的方法

• 利用 Bergman 度量与 Kähler-Einstein 度量相关的函数方程，分析全纯映射的等距条件。
• 应用实解析函数的恒等定理，证明分量映射可全纯延拓至闭单位圆盘的邻域。
• 利用 Ahlfors-Schwarz 引理推导曲率形式的非负性，并由此导出等距条件。
• 利用函数方程 $\prod_{j=1}^{m}(1-\|f_j(w)\|^2)^{\lambda_j} = 1 - |w|^2$ 约束分量映射的行为。
• 运用 Liouville 定理排除映射到球面且像位于边界上的非常值映射，证明所有分量必须是适当的全纯映射。
• 将构造出的等距映射与从乘积域到秩 $\geq 2$ 的不可约有界对称域的全测地嵌入复合。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n \geq 2$，从庞加莱圆盘到单位圆盘与复单位 $n$-球面乘积的所有可能全纯等距映射是什么？
• RQ2 能否从庞加莱圆盘到此类乘积构造一个实1参数族相互非合同的全纯等距映射？
• RQ3 对于秩 $\geq 2$ 的不可约有界对称域（排除类型IV域），是否存在非标准全纯等距映射？
• RQ4 从庞加莱圆盘到对称域的全纯等距映射能否全纯延拓至闭单位圆盘的邻域，并具有无理分量函数？
• RQ5 全测地嵌入在生成高秩对称域中非合同等距映射新族的过程中起什么作用？

主要发现

• 所有从庞加莱圆盘到单位圆盘与复单位 $n$-球面（$n \geq 2$）乘积的全纯等距映射均被完全表征，并构造了一个实1参数族相互非合同的此类等距映射。
• 任何此类等距映射的分量映射均可全纯延拓至闭单位圆盘的邻域，且为到各自球面的适当全纯映射。
• 对于任意秩 $\geq 2$ 的不可约有界对称域 $\Omega$（排除类型IV），存在一个实1参数族相互非合同的从庞加莱圆盘到 $\Omega$ 的全纯等距映射。
• 构造了新的非标准全纯等距映射，其可全纯延拓至闭单位圆盘的邻域，且分量函数为无理函数。
• 函数方程 $\prod_{j=1}^{m}(1-\|f_j(w)\|^2)^{\lambda_j} = 1 - |w|^2$ 暗示 $\sum_{j=1}^{m} \lambda_j = 1$，且每个分量映射均为全测地全纯等距映射。
• 通过与从乘积域到 $\Omega$ 的全测地嵌入复合，确立了此类等距映射的存在性，利用了秩 $\geq 3$ 域的已知结果，并将其推广至秩2域（除类型IV外）。