[论文解读] Holomorphic Jacobi Manifolds and Complex Contact Groupoids

Luca Vitagliano, Aı̈ssa Wade|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文通过证明全纯雅可比流形可积分化为复接触群概形，解决了全纯雅可比流形的积分问题，采用了一种齐次化方案，将全纯雅可比结构与齐次全纯泊松结构相联系，将复接触群概形与齐次复辛群概形相联系。其主要贡献在于通过这种对偶性，建立了一套系统化的全纯雅可比几何积分理论。

ABSTRACT

This is the second part of a series of two papers dedicated to a systematic study of holomorphic Jacobi structures. In the first part, we introduced and study the concept of a holomorphic Jacobi manifold in a very natural way as well as various tools. In the present paper, we solve the integration problem for holomorphic Jacobi manifolds by proving that they integrate to complex contact groupoids. A crucial tool in our proof is what we call the homogenization scheme, which allows us to identify holomorphic Jacobi manifolds with homogeneous holomorphic Poisson manifolds and complex contact groupoids with homogeneous complex symplectic groupoids.

研究动机与目标

• 建立全纯雅可比流形的系统化积分理论。
• 通过将全纯雅可比结构与齐次全纯泊松结构相联系，解决积分问题。
• 通过齐次化方案证明全纯雅可比流形可积分化为复接触群概形。
• 将雅可比与泊松结构之间的对偶性扩展至全纯情形，并引入复群概形的对应物。

提出的方法

• 采用齐次化方案，将全纯雅可比结构转化为齐次全纯泊松结构。
• 利用齐次化方案，将复接触群概形与齐次复辛群概形相联系。
• 借助已知的泊松流形积分结果，将其推广至全纯情形。
• 通过齐次化对偶性，在全纯雅可比流形与复接触群概形之间建立对应关系。
• 应用复几何与李理论工具，构造并刻画积分群概形。
• 利用全纯结构与齐次辛及接触群概形之间的自然相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯雅可比流形如何被积分化为几何群概形结构？
• RQ2 全纯雅可比结构与齐次全纯泊松结构之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 复接触群概形是否是全纯雅可比流形的自然积分对象？
• RQ4 齐次化方案如何促进全纯雅可比结构的积分？
• RQ5 齐次性在复几何中连接雅可比与泊松结构的角色是什么？

主要发现

• 全纯雅可比流形可积分化为复接触群概形，从而解决了该几何背景下的积分问题。
• 齐次化方案在全纯雅可比结构与齐次全纯泊松结构之间建立了唯一对应关系。
• 通过齐次化对偶性，复接触群概形被证明是全纯雅可比流形的积分对象。
• 在齐次化框架下，齐次复辛群概形与复接触群概形被证明是等价的。
• 全纯雅可比流形的积分理论通过齐次化方案及其与复几何的相容性得到了完整刻画。