[论文解读] Holomorphic maps between closed SU(l,m)-orbits in Grassmannian

Sung‐Yeon Kim|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文研究了格拉斯曼流形中闭合 $SU(\ell,m)$-轨道之间的全纯映射，表明在利维形式的符号差异条件下，此类映射可分解为标准嵌入与向子格拉斯曼流形的全纯映射。关键结果为：在额外的维数约束下，该映射可延拓为环境格拉斯曼流形的全测地嵌入。

ABSTRACT

Orbits of $SU(\ell, m)$ in a Grassmannian manifold have homogeneous CR structures. In this paper, we study germs of smooth CR mappings sending a closed orbit of $SU(\ell,m)$ into a closed orbit of $SU(\ell',m')$ in Grassmannian manifolds. We show that if the signature difference of the Levi forms of two orbits is not too large, then the mapping can be factored into a simple form and one of the factors extends to a totally geodesic embedding of the ambient Grassmannian into another Grassmannian with respect to the standard metric. As an application, we give a sufficient condition for a smooth CR mapping sending a closed orbit of $SU(\ell,m)$ into a closed orbit of $SU(\ell',m')$ in Grassmannian manifolds to extend as a totally geodesic embedding of the Grassmannian into another Grassmannian.

研究动机与目标

• 将全纯映射在格拉斯曼流形中最小 $SU(\ell,m)$-轨道之间的刚性结果推广至源与目标的极大复子流形不同的情形。
• 研究当利维形式的符号差异较小时，沿极大复子流形链传播的CR刚性的机制。
• 建立光滑CR嵌入在这些轨道之间延拓为环境格拉斯曼流形的全测地嵌入的条件。
• 通过将映射分解为标准分量与子格拉斯曼流形分量，将Ng [Ng12]的提升技巧推广至源与目标的极大复子流形不同的情形。

提出的方法

• 使用活动标架法分析 $S_{q,p}^\ell$ 的CR结构，即 $Gr(q,p)$ 中的最小 $SU(\ell,m)$-轨道。
• 定义 $S_{q,p}^\ell$ 上 $n$-受限子格拉斯曼流形的通用空间，以参数化极大复子流形及其关系。
• 证明：若 $q > 1$ 且 $|\ell' - q'| < 2(\ell - q)$，则任意光滑横截CR嵌入的芽可分解为映入 $Gr(q',L)$ 的标准嵌入与映入 $Gr(q',N)$ 的全纯映射，其中 $\dim N \leq \ell' - \ell + q$。
• 应用Mok [M08]关于特征丛的结果，并利用提升技巧，证明映射保持丛结构。
• 利用关于酉形式 $\langle \cdot, \cdot \rangle_{\ell',m'}$ 的正交分解，分析点处的切空间与法空间。
• 证明：在维数条件 $q' \times (\ell' - \ell + q - q') < q \times (\ell - q)$ 下，子格拉斯曼流形分量变为常值，从而实现全局延拓。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，格拉斯曼流形中 $SU(\ell,m)$-轨道之间的光滑CR嵌入的芽可延拓为环境格拉斯曼流形的全测地嵌入？
• RQ2 当源与目标轨道的极大复子流形不同时，CR刚性沿极大复子流形链如何传播？
• RQ3 当其利维形式的符号差异受控时，$SU(\ell,m)$-轨道之间全纯映射的结构是怎样的？
• RQ4 Ng [Ng12]中使用的提升技巧能否推广至源与目标的极大复子流形不同的情形？
• RQ5 何时一个映入 $SU(\ell',m')$-轨道的全纯映射可分解为标准嵌入与映入子格拉斯曼流形的常值映射？

主要发现

• 若 $q > 1$ 且 $|\ell' - q'| < 2(\ell - q)$，则任意光滑横截CR嵌入 $f: S_{q,p}^\ell \to S_{q',p'}^{\ell'}$ 的芽可分解为 $z \mapsto (f_1(z), f_2(z))$，其中 $f_1$ 是映入 $Gr(q',L)$ 的标准嵌入，$f_2$ 映入 $Gr(q',N)$ 且 $\dim N \leq \ell' - \ell + q$。
• 在附加条件 $q' \times (\ell' - \ell + q - q') < q \times (\ell - q)$ 下，映射 $f_2$ 变为常值，因此整个映射 $f$ 可延拓为 $Gr(q,p)$ 到 $Gr(q',p')$ 的标准嵌入。
• 该分解结果推广了Ng [Ng12]的结果，后者要求 $q = q'$ 且 $\ell = \ell'$，现扩展至极大复子流形不同的情形。
• 证明依赖于活动标架法以及关于 $SU(\ell',m')$-不变酉形式的切空间正交分解。
• 嵌入的像位于一个全测地子格拉斯曼流形中，且法空间的结构确保映射保持特征丛结构。
• 结果确认：在所述符号与维数约束下，此类轨道之间的全纯映射具有刚性，并可全局延拓为标准嵌入。