[论文解读] Holomorphic orbidiscs and Lagrangian Floer cohomology of symplectic toric orbifolds

Cheol-Hyun Cho, Mainak Poddar|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 20

一句话总结

本文通过分类具有内部轨道丛奇点的 J-全纯圆盘（即全纯轨道丛圆盘）并利用扭 sectors 构建了受控形变的 Floer 理论，将拉格朗日 Floer 上同调推广至辛拓扑轨道丛。本文引入了去奇化 Maslov 指标，构建了一个带势函数的滤子 A∞-代数，并证明通过轨道丛循环的受控形变可揭示刚性哈密顿动力学，将 Fukaya-Oh-Ohta-Ono 理论推广至轨道丛情形，包含加权射影空间和泪滴轨道丛等显式例子。

ABSTRACT

We develop Floer theory of Lagrangian torus fibers in compact symplectic toric orbifolds. We first classify holomorphic orbi-discs with boundary on Lagrangian torus fibers. We show that there exists a class of basic discs such that we have one-to-one correspondences between a) smooth basic discs and facets of the moment polytope, and b) between basic orbi-discs and twisted sectors of the toric orbifold. We show that there is a smooth Lagrangian Floer theory of these torus fibers, which has a bulk-deformation by fundamental classes of twisted sectors of the toric orbifold. We show by several examples that such bulk-deformation can be used to illustrate the very rigid Hamiltonian geometry of orbifolds. We define its potential and bulk-deformed potential, and develop the notion of leading order potential. We study leading term equations analogous to the case of toric manifolds by Fukaya, Oh, Ohta and Ono.

研究动机与目标

• 为紧致辛拓扑轨道丛中的拉格朗日环面纤维建立拉格朗日 Floer 上同调理论。
• 对边界位于这些纤维上的全纯轨道丛圆盘进行分类，区分光滑型与轨道丛型。
• 利用扭轨道丛的基本类构建受控形变的 Floer 上同调，捕捉刚性哈密顿动力学。
• 将环面流形情形下的势函数与首项方程推广至轨道丛情形。
• 通过显式例子（包括加权射影空间和泪滴轨道丛）演示该理论。

提出的方法

• 通过建立光滑基本圆盘与矩量多面体面之间的双射关系，对全纯轨道丛圆盘进行分类。
• 建立基本轨道丛圆盘与辛拓扑轨道丛扭轨道丛之间的双射关系。
• 为轨道丛圆盘定义去奇化 Maslov 指标，并将其与 Chern-Weil Maslov 指标关联。
• 利用 J-全纯圆盘与带状图，结合 Kuranishi 结构验证弗雷德霍姆正则性，为拉格朗日子流形构建滤子 A∞-代数。
• 通过扭轨道丛的基本循环引入 Floer 上同调的受控形变，导出受控轨道丛势函数。
• 定义首阶势函数，并推导出与 Fukaya-Oh-Ohta-Ono 在环面流形情形下相似的首项方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在辛拓扑轨道丛中，全纯轨道丛圆盘如何分类？其几何与拓扑意义为何？
• RQ2 去奇化 Maslov 指标在轨道丛 J-全纯圆盘的背景下起何作用？
• RQ3 通过扭轨道丛循环的受控形变如何改变轨道丛中拉格朗日环面纤维的 Floer 上同调？
• RQ4 受控轨道丛势函数如何捕捉辛拓扑轨道丛的刚性哈密顿几何？
• RQ5 轨道丛情形下的首项方程与环面流形情形下的方程有何异同？

主要发现

• 建立了光滑基本圆盘与矩量多面体面之间的双射关系，推广了流形情形的结果。
• 发现了基本轨道丛圆盘与辛拓扑轨道丛扭轨道丛之间的双射关系，揭示了轨道丛的全局结构。
• 证明了光滑拉格朗日 Floer 上同调是良定义的，并可通过扭轨道丛的基本类实现受控形变。
• 显式构造了受控轨道丛势函数，并推导出其首项方程，其结构与环面流形情形一致。
• 泪滴轨道丛与加权射影空间等例子表明，受控形变可检测轨道丛中非平凡的哈密顿刚性。
• 通过 $\mathbb{P}(1,a,a)$、$\mathbb{P}(1,1,a)$ 和 $\mathbb{P}(1,3,5)$ 等显式计算验证了理论，显示在某些情形下受控 Floer 上同调非零。