[论文解读] Holomorphic Poisson Structures and Groupoids

Camille Laurent-Gengoux, Mathieu Stiénon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文在实Poisson几何框架下建立了全纯Poisson流形的理论，表明全纯Poisson结构对应于Poisson Nijenhuis结构，并引入了用于全纯Poisson上同调的双重复形。一个关键结果是全纯Lie代数胚与复Lie代数胚的匹配对之间存在等价关系，且全纯Lie代数胚的可积性可由Crainic-Fernandes准则转化为其底层实Lie代数胚的可积性。

ABSTRACT

We study holomorphic Poisson manifolds, holomorphic Lie algebroids and holomorphic Lie groupoids from the viewpoint of real Poisson geometry. We give a characterization of holomorphic Poisson structures in terms of the Poisson Nijenhuis structures of Magri-Morosi and describe a double complex which computes the holomorphic Poisson cohomology. A holomorphic Lie algebroid structure on a vector bundle $A o X$ is shown to be equivalent to a matched pair of complex Lie algebroids $(T^{0,1}X,A^{1,0})$, in the sense of Lu. The holomorphic Lie algebroid cohomology of A is isomorphic to the cohomology of the elliptic Lie algebroid $T^{0,1}X\bowtie A^{1,0}$. In the case when $(X,\pi)$ is a holomorphic Poisson manifold and $A=(T^*X)_\pi$, such an elliptic Lie algebroid coincides with the Dirac structure corresponding to the associated generalized complex structure of the holomorphic Poisson manifold. We also show that a holomorphic Lie algebroid is integrable if, and only if, its underlying real Lie algebroid is integrable. Thus the integrability criteria of Crainic-Fernandes do also apply in the holomorphic context without any modification.

研究动机与目标

• 通过实Poisson几何与Poisson Nijenhuis形式化方法表征全纯Poisson结构。
• 构建一个用于计算全纯Poisson上同调的双重复形。
• 建立全纯Lie代数胚与复Lie代数胚匹配对之间的等价关系。
• 证明全纯Lie代数胚的上同调与相关椭圆Lie代数胚的上同调一致。
• 证明全纯Lie代数胚可积当且仅当其底层实Lie代数胚可积。

提出的方法

• 利用Magri-Morosi的Poisson Nijenhuis结构框架来表征全纯Poisson结构。
• 构造一个双重复形，其总上同调计算全纯Poisson上同调。
• 应用Lu的Lie代数胚匹配对理论，将全纯Lie代数胚与复Lie代数胚的配对联系起来。
• 将椭圆Lie代数胚 $T^{0,1}X \bowtie A^{1,0}$ 定义为全纯Lie代数胚 $A \to X$ 的关联结构。
• 利用Crainic-Fernandes实Lie代数胚的可积性准则，将可积性结果推广至全纯情形。
• 建立全纯Lie代数胚上同调与椭圆Lie代数胚上同调之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯Poisson结构如何在实Poisson几何框架下被表征？
• RQ2 Poisson Nijenhuis结构在描述全纯Poisson流形中起什么作用？
• RQ3 全纯Lie代数胚的上同调与相关椭圆Lie代数胚的上同调有何关系？
• RQ4 全纯Lie代数胚在何种意义上等价于复Lie代数胚的匹配对？
• RQ5 全纯Lie代数胚在何种条件下可积，这与其底层实Lie代数胚的可积性有何关联？

主要发现

• 全纯Poisson结构在实Poisson几何框架下被表征为Poisson Nijenhuis结构。
• 构造了一个计算全纯Poisson上同调的双重复形。
• 证明了全纯Lie代数胚在Lu的意义下与复Lie代数胚的匹配对等价。
• 全纯Lie代数胚的上同调与椭圆Lie代数胚 $T^{0,1}X \bowtie A^{1,0}$ 的上同调同构。
• 当 $A = (T^*X)_\pi$ 对于全纯Poisson流形 $(X,\pi)$ 时，关联的椭圆Lie代数胚与 $X$ 上广义复结构的Dirac结构一致。
• 全纯Lie代数胚可积当且仅当其底层实Lie代数胚可积，且Crainic-Fernandes可积性准则可直接应用于全纯情形。