[论文解读] Holomorphic Principal Bundles Over Elliptic Curves III: Singular Curves and Fibrations

Robert Friedman, John W. Morgan|ArXiv.org|Aug 15, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文将全纯主G-丛在椭圆曲线上的抛物约化方法推广至奇异曲线和Weierstrass三次族，构造了基空间上的加权射影空间丛形式的相对模空间。该研究为卡西米尔权重的出现提供了概念性解释，并通过奇异曲线上的紧化方式推广了Kostant与Steinberg的截面。

ABSTRACT

Let G be a simple and simply connected complex linear algebraic group. In this paper, we discuss the generalization of the parabolic construction of holomorphic principal G-bundles over a smooth elliptic curve to the case of a singular curve of arithmetic genus one and to a fibration of Weierstrass cubics over a base B. Except for G of type E_8, the method gives a family of weighted projective spaces associated to a sum of line bundles over B. Working with the universal family of Weierstrass curves over affine two-space and its natural C^*-action, we determine the line bundles that arise in the direct sum in terms of the Casimir weights of the group. We show that in the case of a cuspidal or nodal curve C, provided that G is not of type E_8 or C is not cuspidal, the parabolic construction is closely related to constructions of Kostant and Steinberg of sections for the adjoint quotient morphism of the group G or its Lie algebra, and that moreover it gives a compactification of the adjoint quotient. We describe how the construction may be modified for E_8. Finally, given an irreducible representation of G, we characterize the G-bundles arising from the parabolic construction such that the associated vector bundle is unstable.

研究动机与目标

• 将全纯G-丛在光滑椭圆曲线上的抛物约化方法推广至奇异曲线和椭圆纤维化结构。
• 在Weierstrass三次族的族上构造G-丛的相对模空间，证明其为基空间上的加权射影空间丛。
• 为模空间构造中出现的卡西米尔权重 $d_i = m_i + 1$ 提供概念性解释，其中 $m_i$ 为 $G$ 的指数。
• 理解抛物构造在节点型与尖点型纤维上的行为，并将其与伴随商及其紧化相联系。
• 通过奇异曲线上的抛物构造的形变，推广Kostant与Steinberg对伴随商的截面。

提出的方法

• 选取 $G$ 的极大抛物子群 $P \subset G$，其幂零根系为 $U$，勒维因子为 $L$，将G-丛的结构群约化至 $P$。
• 通过非交换上同调 $H^1(E; U(\eta_0))$ 构造 $P$-丛，其中 $\eta_0$ 是行列式为 $\mathcal{O}_E(-p_0)$ 的典范 $L$-丛。
• 通过研究 $H^1(E; \mathfrak{u}(\eta_0))$ 对上同调进行线性化，其分解为负度数的半稳定向量丛。
• 证明 $H^1(E; U(\eta_0))$ 携带 $\mathbb{C}^*$-作用，其权为 $g_i$，从而导出一个加权射影空间。
• 通过分析直接像 $\mathcal{L} = R^0\pi_*\omega_{Z/B}$，将构造推广至奇异纤维及Weierstrass三次族的族 $\pi: Z \to B$。
• 构造相对模空间为与 $\mathcal{O}_B \oplus \mathcal{L}^{-d_1} \oplus \cdots \oplus \mathcal{L}^{-d_r}$ 相关的加权射影空间丛，其中 $d_i = m_i + 1$ 为卡西米尔权重。

实验结果

研究问题

• RQ1 抛物约化方法在奇异椭圆曲线及Weierstrass纤维化族上的G-丛上如何表现？
• RQ2 为何卡西米尔权重 $d_i = m_i + 1$ 在相对模空间构造中自然出现？
• RQ3 能否将Steinberg与Kostant对伴随商的截面理解为光滑曲线上抛物构造的退化形式？
• RQ4 不稳定G-丛在模空间中的位置为何？其与从更小群诱导的抛物诱导有何关联？
• RQ5 上同调中幂零丛的 $\mathbb{C}^*$-作用如何导致加权射影空间结构？

主要发现

• 在Weierstrass三次族的族上，G-丛的相对模空间为基空间 $B$ 上的加权射影空间丛，前提是 $G$ 不是 $E_8$ 型。
• 加权射影空间丛的权为卡西米尔权重 $d_i = m_i + 1$，其中 $m_i$ 为 $G$ 的指数，而线丛 $\mathcal{L} = R^0\pi_*\omega_{Z/B}$ 决定了扭量。
• 当 $G = E_8$ 时，由于缺乏合适的抛物约化，该构造无法得到加权射影空间丛形式的相对模空间。
• 使关联在最小表示中的向量丛不稳定的G-丛的集合，对应于模空间中的一条有理曲线，该曲线源于抛物诱导。
• 当 $G = Spin(10)$ 时，27维表示中不稳定丛的集合对应于 $\mathbb{WP}(Spin(10))$ 中的一条有理曲线 $\Gamma$，且其在 $\mathbb{WP}(Spin(10)) \to \mathbb{WP}(G)$ 下的像为 $\mathbb{WP}(G)$ 中的一条有理曲线。
• 当 $G = E_7$ 时，不稳定G-丛为有理曲线 $\Gamma$ 在 $2:1$ 满态射 $\mathbb{WP}(E_6) \to \mathbb{WP}(E_7)$ 下的像，且在所有非平凡表示中均不稳定。