[论文解读] Holomorphic versus algebraic equivalence for deformations of real-algebraic CR manifolds

Bernhard Lamel, Nordine Mir|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 19被引用 3

一句话总结

该论文证明，对于复空间中极小的全纯非退化实代数CR子流形，两种代数形变彼此biholomorphically等价当且仅当它们代数等价。关键结果依赖于将形变之间的biholomorphic映射在任意阶上逼近为代数映射，利用CR结构的全纯非退化性和极小性，确保等价映射的代数性。

ABSTRACT

We consider (small) algebraic deformations of germs of real-algebraic CR submanifolds in complex space and study the biholomorphic equivalence problem for such deformations. We show that two algebraic deformations of minimal holomorphically nondegenerate real-algebraic CR submanifolds are holomorphically equivalent if and only if they are algebraically equivalent.

研究动机与目标

• 解决复空间中实代数CR子流形的代数形变的等价性问题。
• 确定此类形变之间的biholomorphic等价性是否蕴含代数等价性。
• 将已知的biholomorphism代数性结果推广至形变情形。
• 在极小性和非退化性条件下，建立CR几何中全纯等价与代数等价之间的桥梁。

提出的方法

• 使用代数形变的概念：以实参数空间为参数的CR子流形芽族的实代数族。
• 通过全纯子mersion和参数空间的实解析微分同胚来定义biholomorphic等价性。
• 通过要求微分同胚和子mersion均为代数的，来定义代数等价性。
• 证明任意此类形变之间的biholomorphic等价性，可被任意阶逼近为代数等价性。
• 利用CR子流形的全纯非退化性和极小性，确保此类逼近的存在性。
• 应用Baouendi-Ebenfelt-Rothschild的代数性定理于非退化情形，并通过jet逼近将其推广至形变情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，CR子流形的代数形变之间的biholomorphic等价性蕴含代数等价性？
• RQ2 能否将两个极小全纯非退化CR流形的代数形变之间的biholomorphic映射，逼近为代数映射？
• RQ3 CR结构的全纯非退化性和极小性是否强制等价映射为代数形式？
• RQ4 即使纤维不固定，等价映射的代数性在形变下是否保持不变？
• RQ5 CR轨道及其轨道维数在决定等价映射的代数性中起什么作用？

主要发现

• 极小全纯非退化实代数CR子流形的两种代数形变彼此biholomorphically等价当且仅当它们代数等价。
• 对任意整数 ℓ > 0，此类形变之间的biholomorphic等价性可在基点处被逼近为阶数至ℓ的代数biholomorphism。
• 即使形变的纤维不代数等价，该逼近结果依然成立，克服了先前方法的局限性。
• 证明依赖于全纯向量场在子流形上切于该子流形时必须在非退化性下消失，从而强制映射与某些变量无关。
• 该结果将经典的Baouendi-Ebenfelt-Rothschild代数性定理推广至形变情形。
• 即使CR流形非一般型，结论依然成立，可通过代数分解约化至一般情形。