[论文解读] Holomorphicity and Walczak formula on Sasakian manifolds

Vasile Brînzănescu, Radu Slobodeanu|ArXiv.org|Jul 15, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文通过在几乎接触度量流形上引入全纯性的概念，建立了Sasakian流形上Walczak公式及其Bochner型结果的类比。研究表明，当分布为全纯且可积时，Walczak公式显著简化，从而得出一个Bochner型结果：若混合标量曲率满足 $ s_{\text{mix}} \geq 2(n-p) $，则叶层的紧致叶为全测地线，且等式在存在此类叶时成立。

ABSTRACT

Walczak formula is a very nice tool for understanding the geometry of a Riemannian manifold equipped with two orthogonal complementary distributions. Svensson [7] has shown that this formula simplifies to a Bochner type formula when we are dealing with Kähler manifolds and holomorphic (integrable) distributions. Here, with adapted notions as invariant distribution and (contact) holomorphicity, we derive the special form of the Walczack formula on a Sasaki manifold. Then we apply a standard Bochner argument in the study of (contact) holomorphic distributions. Some other applications for (pseudo)harmonic morphisms on a Sasaki manifolds are outlined.

研究动机与目标

• 将Kähler几何中Walczak公式的简化形式推广至Sasakian流形。
• 在几乎接触度量流形上定义并研究全纯性，尤其关注锥面上的横截全纯结构。
• 建立Sasaki流形上调和映射与叶层结构的几何后果，特别是关于纤维的极小性与全测地性。
• 将从Sasaki流形到Kähler流形的(φ,J)-全纯子丛映射表征为具有极小纤维的伪水平同胚调和映射，并保持复子流形的逆像不变。

提出的方法

• 在几乎接触度量流形上引入全纯分布的概念，其定义条件为：对全纯向量场有 $ \phi B^{\mathcal{V}}(U,V) = B^{\mathcal{V}}(U,\phi V) $。
• 利用Sasakian结构的正规性条件 $ (\nabla_X \phi)Y = g(X,Y)\xi - \eta(Y)X $，推导曲率与第二基本形式的恒等式。
• 应用Riemann流形上两个正交互补分布 $ \mathcal{V} $ 与 $ \mathcal{H} $ 的Walczak公式，并在全纯性与可积性假设下进行简化。
• 推导关键恒等式 $ \mathrm{trace} B^{\mathcal{V}} = 0 $，该式导致第二基本形式的迹为零。
• 利用Walczak公式的简化形式，得到Bochner型结果：在可积性条件下，有 $ \mathrm{div}^{\mathcal{V}} \mathrm{trace} B^{\mathcal{H}} + 2(n-p) = s_{\text{mix}} + |B^{\mathcal{V}}|^2 $。
• 证明从Sasaki流形到Kähler流形的(φ,J)-全纯子丛映射是具有极小纤维的伪水平同胚调和映射，且其复子流形的逆像保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Sasakian几何中，Riemann流形上正交分布的Walczak公式如何简化？
• RQ2 在几乎接触度量流形上，分布与向量场的全纯性具有何种几何意义？
• RQ3 在Sasaki流形上，全纯叶层在何种条件下具有全测地线的紧致叶？
• RQ4 从Sasaki流形到Kähler流形的(φ,J)-全纯子丛映射具有何种几何性质？
• RQ5 Sasaki流形上锥面的横截全纯结构与底流形上全纯性的关系为何？

主要发现

• 当Sasaki流形上分布 $ \mathcal{V} $ 为全纯且可积时，Walczak公式简化为 $ \mathrm{div}^{\mathcal{V}} \mathrm{trace} B^{\mathcal{H}} + 2(n-p) + \frac{1}{4}|I^{\mathcal{V}}|^2 = s_{\text{mix}} + |B^{\mathcal{V}}|^2 $。
• 对于可积的全纯叶层，公式进一步简化为 $ \mathrm{div}^{\mathcal{V}} \mathrm{trace} B^{\mathcal{H}} + 2(n-p) = s_{\text{mix}} + |B^{\mathcal{V}}|^2 $，此即一个Bochner型恒等式。
• 若 $ s_{\text{mix}} \geq 2(n-p) $，则全纯叶层的每个紧致叶均为全测地线，且在存在此类叶时等式 $ s_{\text{mix}} = 2(n-p) $ 成立。
• 若 $ s_{\text{mix}} > 2(n-p) $，则不存在紧致叶，这为全纯叶层提供了拓扑障碍。
• 每个从Sasaki流形到Kähler流形的(φ,J)-全纯子丛映射均为具有极小纤维的伪水平同胚调和映射。
• 目标Kähler流形中任意复子流形的逆像均为Sasaki流形中的极小且 $ \phi $-不变子流形。