[论文解读] Holonomy and monodromy groupoids

Ronald Brown, İlhan Içen+1 more|ArXiv.org|Oct 5, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一类适用于局部李群胚的普遍、局部到全局的仿射群丛与单值群丛的构造方法，推广了经典叶层结构的不变量。通过利用普遍性质与局部可接受截面，证明了单值群丛可通过仿射构造获得李结构，逆转了通常基于商的处理方式，从而实现了高维推广。

ABSTRACT

We outline the construction of the holonomy groupoid of a locally Lie groupoid and the monodromy groupoid of a Lie groupoid. These specialise to the well known holonomy and monodromy groupoids of a foliation, when the groupoid is just an equivalence relation.

研究动机与目标

• 将经典叶层结构的仿射群丛与单值群丛推广至更广泛的局部李群胚范畴。
• 建立一种普遍原则，通过单值群丛将局部态射扩展为全局态射，受Chevalley单值原理的启发。
• 证明仿射群丛构造在赋予单值群丛李结构方面具有根本作用，而非反之。
• 探索局部李群胚作为编码微分几何与李理论中局部几何结构的框架的潜力。
• 启动利用n重群胚与分划的代数逆元构建仿射与单值群丛高维类比的程序。

提出的方法

• 将局部李群胚定义为群胚G，其包含单位元的子集W，配备流形结构，使得群胚运算在W上尽可能光滑。
• 将仿射群丛Hol(G, W)构造为G的超群胚，其中W成为开子空间，且通过普遍性质将李结构全局扩展。
• 利用局部可接受截面——定义在对象空间开子集上的源映射的光滑截面，其像位于W中，且在目标映射下为微分同胚——来定义局部过程。
• 通过此类局部截面的左乘操作保持开性与光滑性，将群作用思想推广至群胚。
• 将单值群丛M(G)定义为G在单位元处星形的普遍覆盖，具备局部态射的普遍提升性质。
• 证明仿射构造为M(G)提供了必要的拓扑结构，使其成为李群胚，即使在非平凡仿射的情况下亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将叶层结构的仿射群丛与单值群丛从等价关系推广至任意局部李群胚？
• RQ2 局部可接受截面在构造单值群丛的李结构中起什么作用？
• RQ3 单值群丛能否被普遍表征为局部态射的扩展域？其与经典单值原理的关系如何？
• RQ4 局部李群胚与李代数胚之间存在何种关系？该概念在编码局部几何数据方面有多大的实用性？
• RQ5 利用n重群胚与分划的代数逆元，是否存在构建仿射与单值群丛高维类比的前景？

主要发现

• 即使在非平凡仿射的情况下，局部李群胚G的单值群丛M(G)也可通过仿射构造赋予李群丛结构。
• 仿射群丛Hol(G, W)被构造为G的超群丛，W作为开子空间，且作为扩展局部态射的普遍定义域。
• M(G)的李结构构造关键依赖于仿射群丛，逆转了标准的基于商的处理方式（即通常从单值群丛推导出仿射群丛）。
• 局部可接受截面在保持群丛运算的光滑性与开性方面至关重要，推广了拓扑群中左乘操作的作用。
• M(G)的普遍提升性质确保任意在G上定义的局部态射可唯一延拓为M(G)上的全局态射，从而实现广义单值原理。
• 该框架自然导向利用n重群胚与分划的代数逆元构建高维类比，可能与非交换同伦理论及主丛的曲率建立联系。