[论文解读] Holonomy Groups in Riemannian Geometry

Andrew Clarke, Bianca Santoro|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文全面介紹了黎曼几何中的holonomy群，强调通过主丛形式研究曲率、平行移动和holonomy。它确立了Berger分类定理，识别出可能的不可约holonomy群——U(n)、SU(n)、Sp(n)、Sp(n)Sp(1)、G₂和Spin(7)，并展示这些群上的无挠结构如何产生Ricci平坦度量，且对Spin(7)流形提供了来自Calabi-Yau和G₂流形的显式构造。

ABSTRACT

Lecture notes for the minicourse "Holonomy Groups in Riemannian geometry", a part of the XVII Brazilian School of Geometry, to be held at UFAM (Amazonas, Brazil), in July of 2012.

研究动机与目标

• 通过向量丛和主丛形式，为黎曼几何中的holonomy群提供基础理解。
• 建立holonomy、曲率与局部可约性和对称性等几何性质之间的关系。
• 通过Berger定理对不可约holonomy群进行分类，突出Kähler、Calabi-Yau、超Kähler以及例外情况。
• 发展无挠G₂和Spin(7)结构的理论及其在构造Ricci平坦流形中的作用。
• 提供从Calabi-Yau和G₂流形构造Spin(7)结构的显式方法，通过微分形式和度量建立联系。

提出的方法

• 通过主丛上的联络形式化holonomy，并使用切丛上的Levi-Civita联络。
• 应用Ambrose-Singer定理将holonomy与曲率联系起来，表明holonomy由曲率形式在所有切向量和环路上的取值生成。
• 使用约化定理分析holonomy在曲率和对称性条件下的子群约化情况。
• 在8维流形上定义可接受的4-形式以表征Spin(7)结构，条件是该形式在holonomy群作用下保持不变。
• 通过涉及Kähler形式、全纯体积形式及从低维Calabi-Yau或G₂流形的拉回的显式公式，构造无挠Spin(7)结构。
• 运用Hodge理论和Spin(7)表示下微分形式的正交分解，分析形式丛的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 holonomy群如何检测黎曼流形的局部可约性和局部对称性？
• RQ2 曲率张量与holonomy群之间的精确关系是什么？Ambrose-Singer定理如何形式化这一关系？
• RQ3 黎曼8流形具有无挠Spin(7)结构的必要且充分条件是什么？
• RQ4 如何从Calabi-Yau或G₂流形构造Spin(7)结构？其显式度量和形式公式是什么？
• RQ5 无挠Spin(7)结构的holonomy群可能的连通分支有哪些？它们与Spin(7)的子群有何关系？

主要发现

• 黎曼流形的holonomy群可检测其局部可约性以及度量是否为局部对称。
• Ambrose-Singer定理表明，holonomy代数由在所有切向量和环路上的曲率形式取值生成。
• 当且仅当其holonomy群包含于Spin(7)且4-形式平行时，黎曼8流形才具有无挠Spin(7)结构。
• 具有Spin(7)中holonomy的流形的曲率必为Ricci平坦，如命题5.6.4所示。
• 无挠Spin(7)结构的holonomy群可能的连通分支仅限于{1}、SU(2)、SU(2)×SU(2)、SU(3)、G₂、Sp(2)、SU(4)或Spin(7)，如定理5.6.5所述。
• 提供了无挠Spin(7)结构的显式构造：从Calabi-Yau 2-流形出发，通过g = dx₁²+⋯+dx₄²+h和Ω = dx₁₂₃₄ + (dx₁₂+dx₃₄)∧ω + (dx₁₃−dx₂₄)∧Re(θ)−(dx₁₄+dx₂₃)∧Im(θ) + ½ω∧ω；以及从Calabi-Yau 3-流形或G₂流形通过类似乘积公式构造。