[论文解读] Holonomy limits of complex projective structures

David Dumas|arXiv (Cornell University)|May 25, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文研究了紧致黎曼曲面上复射影结构所关联的holonomy表示的渐近行为，表明这些表示在Morgan-Shalen边界极限由二次微分的水平叶层的对偶R-树所控制。关键结果表明，对于仅具有单零点的微分，holonomy极限由对偶R-树唯一表示；而对于阿贝尔极限，其对应的微分必须是某个全纯1-形式的平方，且该1-形式的虚部为相应上同调类中的调和代表。

ABSTRACT

We study the limits of holonomy representations of complex projective structures on a compact Riemann surface in the Morgan-Shalen compactification of the character variety. We show that the dual R-trees of the quadratic differentials associated to a divergent sequence of projective structures determine the Morgan-Shalen limit points up to a natural folding operation. For quadratic differentials with simple zeros, no folding is possible and the limit of holonomy representations is isometric to the dual tree. We also derive an estimate for the growth rate of the holonomy map in terms of a norm on the space of quadratic differentials.

研究动机与目标

• 理解从二次微分空间到SL(2,C)特征簇的holonomy映射的大尺度行为。
• 表征holonomy表示在特征簇的Morgan-Shalen紧化中的聚点。
• 确定二次微分的几何与R-树上极限作用之间的关系。
• 建立限制R-树由二次微分的射影极限唯一确定的条件。

提出的方法

• 使用Morgan-Shalen紧化，将边界点分析为基本群上长度函数的射影等价类。
• 从与二次微分对偶的R-树到表示holonomy极限的极限R-树，构造等变、直线映射。
• 应用等变映射与Busemann函数理论，分析阿贝尔长度函数及其相关作用。
• 采用视觉延拓程序，将双曲3-空间中的曲面与holonomy表示关联。
• 利用双曲3-空间中平移长度的尺度，表明其随||φ||^{1/2}增长，其中φ为二次微分。
• 应用Culler与Morgan关于长度函数的R-树实现唯一性结果，排除阿贝尔情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当二次微分的范数发散时，holonomy表示的极限行为是什么？
• RQ2 与二次微分的水平叶层对偶的R-树如何与holonomy表示的Morgan-Shalen边界极限相关？
• RQ3 在何种条件下，极限R-树作用由二次微分的射影极限唯一确定？
• RQ4 阿贝尔长度函数能否作为holonomy表示的极限出现？若能，它们对底层微分施加了何种约束？
• RQ5 当二次微分的范数增加时，holonomy表示中群元素的平移长度发散速率如何？

主要发现

• 对于任意具有射影极限φ的发散二次微分序列，holonomy映射在Morgan-Shalen边界上的任意聚点均由一个R-树表示，该R-树可接受从φ的对偶R-树Tφ出发的等变、满射、直线映射。
• 若射影极限φ仅具有单零点，则holonomy序列收敛于与对偶R-树Tφ相关的长度函数，意味着极限作用在等变等距意义下唯一。
• 对于阿贝尔长度函数ℓ(γ) = |χ(γ)|，其底层微分必须是某个全纯1-形式ω的平方，且ω的虚部为上同调类[χ] ∈ H¹(X, ℝ)的调和代表。
• 在holonomy表示hol(φ)作用于H³时，任一群元素的平移长度为O(||φ||^{1/2})，且该界是紧的：存在某个元素至少达到c||φ||^{1/2}，其中c > 0为统一常数。
• holonomy映射Q(X) → X(Π)是适当嵌入的，且具有有效增长估计，因为平移长度的尺度与||φ||^{1/2}相当。
• 在固定黎曼曲面下，存在收敛于阿贝尔长度函数的序列仍是开放问题，尽管在高亏格下存在随曲面变化的此类序列。