[论文解读] Hom-algebras and homology

Donald Yau|ArXiv.org|Dec 20, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 19被引用 223

一句话总结

本文提出了一种系统化的形变方法，通过代数自同态从经典结合代数和李代数构造同态代数，并为具有非平凡系数的同态李代数建立了类似Chevalley-Eilenberg的同调理论。关键贡献在于构造了一个链复形，其同调在扭曲映射为恒等映射时可恢复标准李代数同调，从而将经典同调代数推广至同态代数框架。

ABSTRACT

Classes of $G$-Hom-associative algebras are constructed as deformations of $G$-associative algebras along algebra endomorphisms. As special cases, we obtain Hom-associative and Hom-Lie algebras as deformations of associative and Lie algebras, respectively, along algebra endomorphisms. Chevalley-Eilenberg type homology for Hom-Lie algebras are also constructed.

研究动机与目标

• 为通过代数自同态对 $G$-同态结合代数进行形变，提供其一般构造方法。
• 证明同态结合代数与同态李代数可自然地通过自同态从结合代数与李代数形变而来。
• 为具有非平凡系数的同态李代数发展同调理论，推广经典Chevalley-Eilenberg复形。
• 建立同态李代数的同调理论，证明当扭曲映射为恒等映射时，其同调恢复标准Chevalley-Eilenberg同调。

提出的方法

• 引入 $G$-同态结合代数作为同态结合代数的推广，其定义基于 $\alpha$-扭曲的结合性条件。
• 通过代数自同态 $\alpha$ 对 $G$-结合代数 $A$ 进行形变，构造出 $G$-同态结合代数，新乘积为 $\mu_\alpha(a,b) = \mu(\alpha(a),\alpha(b))$。
• 通过交换子括号 $[x,y]_\alpha = \alpha([x,y])$ 在向量空间 $L$ 上定义同态李代数结构，推广经典李代数构造。
• 为同态李代数 $L$ 和同态 $L$-模 $M$ 构造链复形 $CE^\alpha_*(L,M)$，其微分 $d$ 包含扭曲映射 $\alpha$ 和括号运算。
• 通过验证 $d^2 = 0$，证明复形 $CE^\alpha_*(L,M)$ 是链复形，其依据为同态雅可比恒等式与模公理。
• 将第 $n$ 个同调定义为该复形的同调，其中第 0 个同调为 $H^\alpha_0(L,M) = M / \text{span}_\mathbb{K}\{mx \mid m \in M, x \in L\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过代数自同态系统地将经典结合代数与李代数形变为同态结合代数与同态李代数？
• RQ2 何种条件可确保通过自同态对结合代数进行形变后仍得到同态结合代数？
• RQ3 能否为具有非平凡系数的同态李代数构造类似Chevalley-Eilenberg的同调理论？
• RQ4 当扭曲映射 $\alpha$ 为恒等映射时，所提出的同调理论是否退化为经典Chevalley-Eilenberg同调？
• RQ5 在同态李代数背景下，第 0 个同调模的代数意义为何？

主要发现

• 沿代数自同态 $\alpha$ 对 $G$-结合代数进行形变，可得到 $G$-同态结合代数，推广了同态结合代数与同态李代数的构造方法。
• 同态结合代数通过交换子括号 $[x,y]_\alpha = \alpha([x,y])$ 自然导出同态李代数，推广了经典李代数的构造方式。
• 为具有同态 $L$-模 $M$ 系数的同态李代数构造了类似Chevalley-Eilenberg的链复形 $CE^\alpha_*(L,M)$，其微分包含扭曲映射 $\alpha$。
• 证明复形 $CE^\alpha_*(L,M)$ 是链复形，即 $d^2 = 0$，其成立依赖于同态雅可比恒等式与模公理。
• 第 0 个同调模为 $H^\alpha_0(L,M) = M / \text{span}_\mathbb{K}\{mx \mid m \in M, x \in L\}$，该结果推广了李代数的交换化构造。
• 当 $\alpha = \text{id}$ 时，同调 $H^\alpha_n(L,M)$ 与底层李代数 $L$ 的经典Chevalley-Eilenberg同调一致。