[论文解读] Homoclinic connections with many loops near a $0^2 iw$ resonant fixed point for Hamiltonian systems

Tiphaine Jézéquel, Patrick Bernard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文通过一种受Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss与Moser归一化方法启发的新规范型定理，结合KAM理论与几何论证，解决了同宿轨道指数级微小分裂问题，在哈密顿系统中于$0^2i\omega$共振不动点附近建立了具有多重环路的同宿连接的存在性。关键结果是：除原点本身外，所有原点附近的周期轨道均存在此类轨道。

ABSTRACT

In this paper we study the dynamics near the equilibrium point of a family of Hamiltonian systems in the neighborhood of a $0^2 iw$ resonance. The existence of a family of periodic orbits surrounding the equilibrium is well-known and we show here the existence of homoclinic connections with several loops for every periodic orbit close to the origin, except the origin itself. To prove this result, we first show a Hamiltonian normal form theorem inspired by the Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss normal form. We then use a local Hamiltonian normalization relying on a result of Moser. We obtain the result of existence of homoclinic orbits by geometrical arguments based on the low dimension and with the aid of a KAM theorem which allows to confine the loops. The same problem was studied before for reversible non Hamiltonian vectorfields, and the splitting of the homoclinic orbits lead to exponentially small terms which prevent the existence of homoclinic connections to exponentially small periodic orbits. The same phenomenon occurs here but we get round this difficulty thanks to geometric arguments specific to Hamiltonian systems and by studying homoclinic orbits with many loops.

研究动机与目标

• 分析哈密顿系统中$0^2i\omega$共振不动点附近的动力学行为，特别是在哈密顿霍普夫分支之后的鞍-中心区域。
• 解决同宿轨道中指数级微小分裂的挑战，该问题通常会阻止小周期轨道的真实同宿连接存在。
• 为原点附近的所有周期轨道（原点除外）建立具有多重环路的同宿轨道的存在性。
• 发展一个针对$0^2i\omega$共振的哈密顿规范型定理，扩展Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss框架。
• 在低维情形下应用KAM理论与几何论证，以限制并稳定这些同宿轨道的环路。

提出的方法

• 推导一种受Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss方法启发的哈密顿规范型定理，适配$0^2i\omega$共振结构。
• 基于Moser定理应用局部哈密顿归一化，以简化平衡点附近的系统。
• 利用系统低维结构的几何论证，分析不变流形的构型。
• 应用KAM定理以限制同宿轨道的环路，确保其在小扰动下保持不变。
• 利用复坐标变换与对称性，保持归一化过程中的哈密顿结构。
• 构造一个形式幂级数变换$\mathcal{F}_{\underline{\varepsilon}}$，将原系统共轭到规范型，确保在原点邻域内收敛且解析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哈密顿系统中，$0^2i\omega$共振不动点附近是否可能存在具有多重环路的同宿连接？
• RQ2 如何克服同宿轨道中指数级微小分裂效应，以确保此类连接的存在？
• RQ3 在$0^2i\omega$共振情形下，会涌现出何种规范型结构？它与可逆非哈密顿情形有何不同？
• RQ4 KAM型论证在多环路同宿轨道的稳定性中能发挥多大作用？
• RQ5 此类轨道的存在性是否在原点附近所有小周期轨道（原点除外）中均具有鲁棒性？

主要发现

• 在$0^2i\omega$共振哈密顿系统中，原点邻域内除原点本身外，每个周期轨道均存在具有多重环路的同宿连接。
• 通过结合新型哈密顿规范型定理、Moser归一化及针对哈密顿动力学的几何论证，实现了该存在性结果。
• 通过利用多环路结构与KAM约束，克服了通常会阻碍同宿连接的不变流形指数级微小分裂问题。
• 规范型变换保持了哈密顿结构，并通过幂级数估计证明其在原点邻域内收敛。
• 系统可形式共轭到规范型$K_{\underline{\varepsilon}}(\xi_1\eta_1, \xi_2^2 + \eta_2^2)$，该形式捕捉了多环路同宿轨道的本质动力学。
• 该构造依赖于保持系统哈密顿性质的对称性与复坐标变换，使KAM理论可用于稳定这些轨道。