[论文解读] Homoclinic Points For Area-Preserving Surface Diffeomorphisms

Zhihong Xia|ArXiv.org|Jun 13, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文建立了在紧致可定向曲面上的 $C^r$ 保面积曲面微分同胚和周期时间依赖哈密顿系统中，对双曲周期点的横截同宿点的普遍存在性。通过使用 $C^r$ 连接引理和基于通量的扰动技术，证明了在这些系统的一个残集集合中，每个双曲周期点均具有横截同宿交点，从而证实了庞加莱在低维哈密顿动力系统中关于该问题的经典猜想。

ABSTRACT

We show a $C^r$ connecting lemma for area-preserving surface diffeomorphisms and for periodic Hamiltonian on surfaces. We prove that for a generic $C^r$, $r=1, 2, ...$, $\infty$, area-preserving diffeomorphism on a compact orientable surface, homotopic to identity, every hyperbolic periodic point has a transversal homoclinic point. We also show that for a $C^r$, $r=1, 2, ...$, $\infty$ generic time periodic Hamiltonian vector field in a compact orientable surface, every hyperbolic periodic trajectory has a transversal homoclinic point. The proof explores the special properties of diffeomorphisms that are generated by Hamiltonian flows.

研究动机与目标

• 解决低维辛流形中哈密顿系统关于横截同宿点普遍存在的庞加莱猜想。
• 为保面积曲面微分同胚和周期时间依赖哈密顿系统建立一个 $C^r$ 连接引理。
• 证明在紧致可定向曲面上 $C^r$ 保面积微分同胚的一个残集集合中，每个双曲周期点均具有横截同宿点。
• 通过分析其庞加莱返回映射并利用哈密顿微分同胚的零通量性质，将结果推广至周期时间依赖哈密顿系统。

提出的方法

• 通过扰动微分同胚，使其在稳定和不稳定流形上产生遍历点，从而为保面积微分同胚建立一个 $C^r$ 连接引理。
• 利用微分同胚的通量向量控制稳定和不稳定流形的几何结构，确保扰动后通量变为有理数并最终为零。
• 应用基于通量的反证法，利用曲面上闭曲线总通量为零的事实，当通量消失时导致横截交点。
• 将周期时间依赖哈密顿系统约化为其庞加莱返回映射，该映射是一个零通量的哈密顿微分同胚。
• 利用哈密顿微分同胚具有零通量（通过在流管上应用斯托克斯定理证明）的事实，确保扰动技术适用。
• 采用残集集合论证：由于周期点是可数的，因此具有横截同宿交点的微分同胚集合在 $C^r$ 拓扑中是残集。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意 $C^r$ 保面积曲面微分同胚在紧致可定向曲面上，若同伦于恒等映射，则其每个双曲周期点是否都具有横截同宿交点？
• RQ2 能否为保面积曲面微分同胚建立一个 $C^r$ 连接引理，以确保稳定与不稳定流形的横截交点？
• RQ3 在曲面上的周期时间依赖哈密顿系统中，双曲周期轨道的横截同宿点是否存在也具有普遍性？
• RQ4 哈密顿微分同胚的零通量性质如何促进横截同宿交点的构造？
• RQ5 能否使用保持面积和辛结构的扰动技术，在稳定和不稳定流形上构造出遍历点？

主要发现

• 对于任意同伦于恒等映射的 $C^r$ 保面积曲面微分同胚，其每个双曲周期点均具有横截同宿交点的微分同胚集合在 $C^r$ 拓扑中是残集。
• 证明通过扰动微分同胚使通量变为有理数并最终为零，从而强制产生横截交点，建立了保面积微分同胚的 $C^r$ 连接引理。
• 对于紧致可定向曲面上的 $C^{r+1}$ 周期时间依赖哈密顿系统，其庞加莱返回映射是零通量的哈密顿微分同胚，从而可采用相同的扰动策略。
• 哈密顿情形下横截同宿点的普遍存在性，源于与微分同胚情形相同的论证，这是由于哈密顿微分同胚的零通量性质。
• 任何哈密顿流中简单闭曲线的通量为零，这是通过在流管上应用斯托克斯定理证明的，这对证明中的反证法至关重要。
• 该结果证实了庞加莱关于低维哈密顿系统中横截同宿点普遍存在的猜想，特别适用于曲面情形及 $C^r$ 正则性（$r=1,2,\ldots,\infty$）的设定。