[论文解读] Homogeneity rank of real representations of compact Lie groups

Cláudio Gorodski, Fabio Podestà|ArXiv.org|Oct 16, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文对紧致李群的不可约实表示进行分类，其齐性秩为零，齐性秩是轨道余维数与稳定子秩的度量。关键结果表明，此类表示要么是内型非埃尔米特对称空间的稳定子表示，要么是典型群与旋群的标准表示和旋表示的特定张量积，文中提供了明确的维数与余维数。

ABSTRACT

The main result of this paper is the classification of the real irreducible representations of compact Lie groups with vanishing homogeneity rank.

研究动机与目标

• 对所有具有零齐性秩的紧致连通李群的绝对不可约实表示进行分类。
• 确定哪些此类表示与内型非埃尔米特对称空间的稳定子表示轨道等价。
• 识别并表征在对称空间稳定子作用之外的其余不可约实表示，其齐性秩为零。
• 通过秩与维数约束及子群分析，建立此类表示的完整列表。

提出的方法

• 作者使用齐性秩不变量，定义为 rk(G) − rk(G_princ) − cohom(G,M)，并证明其在线性表示中非正。
• 他们应用单调性性质：子群作用的齐性秩不超过全群作用的齐性秩。
• 分类过程通过分析结构群的最大子群并利用丹金对最大子代数的分类进行。
• 他们应用表示论约束：对于绝对不可约实表示，最大子群的秩必须小于最大值，且其维数必须满足某些下界。
• 证明通过维数的归纳法以及在某点的切片表示完成，归约为球面上的作用。
• 他们通过验证主稳定子连通且齐性秩为零，来验证每个候选表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些紧致李群的绝对不可约实表示具有零齐性秩？
• RQ2 是否存在具有零齐性秩的不可约实表示，其不轨道等价于内型非埃尔米特对称空间的稳定子表示？
• RQ3 确保实表示具有零齐性秩的精确群论与表示论条件是什么？
• RQ4 能否通过分析最大子群及其秩与维数约束完成该分类？
• RQ5 此类表示的余维数与维数如何与群结构相关联？

主要发现

• 唯一具有零齐性秩的不可约实表示是那些与非埃尔米特对称空间的内型稳定子表示轨道等价的表示，或属于特定张量积表示列表的表示。
• 对于 G = Sp(1) × Sp(n)，n ≥ 2，且 ρ = (标准)³ ⊗_ℍ (标准)，其维数为 8n，余维数为 3。
• SO(4) × Spin(7) 在 R⁴ ⊗ R⁸ 上的作用，其维数为 32，余维数为 5。
• Sp(1) × Spin(11) 在 H² ⊗ H⁵⁶ 上的作用，其维数为 64，余维数为 6。
• 对于 Sp(1)·Sp(3) 作用在 C² ⊗_ℍ C¹⁴ 上，其维数为 28，余维数为 0。
• 所有此类表示均显示其主连通稳定子子群为平凡，从而确认其齐性秩为零。