[论文解读] Homogeneous actions on Urysohn spaces

Pierre Fima, François Le Maı̂tre+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文证明了众多在树上作用的可数群——例如无限可数群的自由积和曲面群——同构于有界Urysohn空间等距群的稠密子群。通过使用Katětov扩张和等变黏合技术，证明了此类作用是齐次的，将早期关于高度可迁群和随机图的结果推广到了更广泛的Urysohn度量空间背景。

ABSTRACT

We show that many countable groups acting on trees, including free products of infinite countable groups and surface groups, are isomorphic to dense subgroups of isometry groups of bounded Urysohn spaces. This extends previous results of the first and last author with Y. Stalder on dense subgroups of the automorphism group of the random graph. In the unbounded case, we also show that every free product of infinite countable groups arises as a dense subgroup of the isometry group of the rational Urysohn space.

研究动机与目标

• 刻画那些在Urysohn空间上存在齐乡等距作用的可数群。
• 将先前关于高度可迁群和随机图的结果推广到有界和无界Urysohn空间的设定中。
• 证明无限可数群的自由积和曲面群同构于有界Urysohn空间等距群的稠密子群。
• 分析齐乡作用在Urysohn空间上时点稳定子群和Schlichting完备化的结构。
• 证明有限支撑置换群稠密嵌入到有理Urysohn空间的等距群中，且其完备化中具有不可数个共轭类。

提出的方法

• 利用Katětov扩张技术，构造S-Urysohn空间中部分等距的等距扩张。
• 应用等变黏合技术，将有限部分等距扩张为全局群作用，确保齐乡性。
• 使用Baire范畴定理证明，通用扩张可生成等距群中的稠密子群。
• 使用Schlichting完备化，将齐乡作用中点稳定子群与等距群的拓扑性质联系起来。
• 在无界情形下应用强分离性和自由积构造，实现自由积的稠密嵌入。
• 分析等距群中的共轭类，排除非平凡的可数正规子群，利用S中距离集的基数。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些可数群可通过稠密等距作用在Urysohn空间上实现齐乡作用？
• RQ2 在何种条件下，无限可数群的自由积能稠密嵌入到有界Urysohn空间的等距群中？
• RQ3 在Urysohn空间上齐乡作用的群的Schlichting完备化具有何种结构？
• RQ4 有限支撑置换群能否被实现为有理Urysohn空间等距群的稠密子群？
• RQ5 当距离集S的大小至少为3时，Urysohn空间的等距群中会产生何种拓扑约束（例如共轭类大小）？

主要发现

• 当距离集S为可数集且包含0时，任意无限可数群的自由积均稠密嵌入到有界Urysohn空间的等距群中。
• 曲面群和无限可数群的自由积同构于有界Urysohn空间等距群的稠密子群。
• 有限支撑置换群稠密嵌入到有理Urysohn空间的等距群中，其Schlichting完备化为该群在完整等距群中的闭包。
• 当|S| ≥ 3时，S-Urysohn空间的等距群具有不可数个共轭类，意味着不存在非平凡的可数正规子群。
• 有限支撑置换群在ℕ上的自然作用是共轭意义下唯一的2-传递作用，且不是高度忠实的。
• 对于任意无限指数的极大真子群，有限支撑置换群的Schlichting完备化为该群在Urysohn空间等距群中的闭包。