[论文解读] Homogeneous bundles over abelian varieties

Michel Brion|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文将Miyashishi与Mukai对阿贝尔簇上齐次向量丛的分类推广至任意代数群下的主丛。通过利用反仿射群概形与可观察子群理论，本文证明了阿贝尔簇 $A$ 上的齐次 $G$-丛由 $G$ 的交换子概形 $H \subset G$ 与 $A$ 关于 $H$ 的反仿射扩张唯一分类，从而推广了关于联络与幂零丛的已知结果。

ABSTRACT

We obtain characterizations and structure results for homogeneous principal bundles over abelian varieties, that generalize work of Miyanishi and Mukai on homogeneous vector bundles. For this, we rely on notions and methods of algebraic transformation groups, especially observable subgroups and anti-affine groups.

研究动机与目标

• 将阿贝尔簇上齐次向量丛的分类推广至任意代数群下的主丛。
• 通过群论与几何结构（特别是反仿射扩张与等变自同构）刻画齐次 $G$-丛。
• 统一并推广先前关于联络、幂零丛与代数平凡性的结果，适用于主丛情形。
• 以配对 $(H, \mathcal{G})$ 的形式提供齐次 $G$-丛的分类，其中 $H$ 是 $G$ 的交换子群，$\mathcal{G}$ 是 $A$ 关于 $H$ 的反仿射扩张。
• 建立齐性、联络存在性与自同构群概形 $\mathrm{Aut}^G(X)$ 结构之间的等价关系。

提出的方法

• 分析 $G$-等变自同构群概形 $\mathrm{Aut}^G(X)$，证明其局部有限型，并包含最大的反仿射子群 $\mathcal{G}$。
• 利用自然同态 $\pi_*: \mathrm{Aut}^G(X) \to \mathrm{Aut}(A)$ 刻画齐性：$\pi$ 是齐次的当且仅当 $\pi_*$ 将 $\mathcal{G}$ 满射到 $A$。
• 通过幂零根 $R_u(G)$ 与最大仿射子群 $G_{\mathrm{aff}}$ 将 $G$-丛的研究约化至 $G$ 为连通半单的情形。
• 应用 [Br09, SS09] 中关于反仿射扩张的分类结果，通过数据 $\delta: H_u^* \to H^1(A, \mathcal{O}_A)$ 与 $c: \widehat{H_s} \to \widehat{A}(k)$ 参数化齐次丛。
• 利用Mukai的傅里叶变换等价性，将幂零丛与 $\widehat{A}$ 上原点处的凝聚层联系起来，尤其在特征 0 情形下。
• 使用准则：$\varphi \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{gp}}(A)$ 可上拉至 $\mathrm{Aut}^G(X)$ 当且仅当 $c$ 与 $\delta$ 的某些共轭与相容条件可交换。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些关于阿贝尔簇上齐次主 $G$-丛的刻画可推广已知的向量丛结果？
• RQ2 自同构群概形 $\mathrm{Aut}^G(X)$ 的结构如何用于刻画齐性？
• RQ3 反仿射群概形与可观察子群在该类丛的分类中起到何种作用？
• RQ4 齐次 $G$-丛的精确分类是什么？其形式涉及 $G$ 的交换子群 $H \subset G$ 与 $A$ 关于 $H$ 的扩张？
• RQ5 联络与可积联络的结果如何从向量丛推广至一般主丛？

主要发现

• 定理 1.1 建立了主 $G$-丛 $\pi: X \to A$ 是齐次的当且仅当它可约化为一个与反仿射扩张 $0 \to H \to \mathcal{G} \to A \to 0$ 相关的 $H$-丛，其中 $H \subset G$ 是一个交换子概形。
• 在特征 0 下，齐性等价于存在（必为可积的）联络，推广了 Matsushima 与 Morimoto 的结果。
• 幂零根 $R_u(G)$ 与最大仿射子群 $G_{\mathrm{aff}}$ 允许将问题约化至 $G$ 为半单的情形，从而简化分类。
• 当 $G = \mathrm{GL}_n$ 时，该分类恢复了 Miyanishi 与 Mukai 的结果：齐次向量丛是代数平凡线丛的迭代扩张，或对角化群作用下权空间的直和。
• 在特征 0 下，$A$ 关于 $H$ 的反仿射扩张由单射映射 $\delta: H_u^* \to H^1(A, \mathcal{O}_A)$ 与 $c: \widehat{H_s} \to \widehat{A}(k)$ 分类；在正特征下，当 $H_u$ 有限时亦有类似分类。
• 对于椭圆曲线，齐次 $G$-丛由三元组 $(u, H_s, c)$ 分类，其中 $u$ 是 $G$ 的幂零元，$H_s$ 是 $C_G(u)$ 的对角化子群，且 $c: \widehat{H_s} \to E(k)$ 是单射，模去同时共轭。