[论文解读] Homogeneous distributions on finite dimensional vector spaces

Huajian Xue|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文确定了局部域 F 上有限维向量空间 V 上 χ-不变温和分布空间的结构，作为 GL(V) 的表示。通过对偶性和退化标准系列表示，证明该空间在 χ 属于特定字符集合时不可约，否则其长度为 2 且具有唯一的不可约子表示。关键贡献是基于字符 χ 对这些表示的完整分类。

ABSTRACT

Let $V$ be a finite dimensional vector space over a local field $F$. Let $χ: F^ imes ightarrow \mathbb C^ imes$ be an arbitrary character of $F^ imes$. We determine the structure of the natural representation of $\mathrm{GL}(V)$ on the space $\mathcal{S}^*(V)^χ$ of $χ$-invariant distributions on $V$.

研究动机与目标

• 理解有限维向量空间 V 上 χ-不变温和分布空间在 GL(V) 作用下的结构。
• 确定该分布空间在何种情况下为不可约表示，或长度为 2，具体取决于字符 χ。
• 建立 χ-不变分布空间与 Schwartz 函数的归一化余不变空间之间的对偶性。
• 基于字符 χ 和域 F，对表示类型（不可约或长度为 2）进行分类。

提出的方法

• 通过对 Schwartz 函数上自然的 GL(V) 作用取对偶，本文通过归一化余不变空间的对偶研究 χ-不变温和分布空间。
• χ-不变分布空间被识别为退化标准系列表示的对偶，具体为 $ \mathcal{S}_{\chi^{-1} \cdot |\cdot|_F^{-n/2}}(V)^* \otimes |\det|_F^{-1/2} $。
• 本文从嵌入 $ \mathcal{S}(V\setminus\{0\}) \hookrightarrow \mathcal{S}(V) $ 构造了一个 GL(V)-交换映射 $ \mathrm{j}_\chi: \mathcal{S}_\chi(V\setminus\{0\}) \to \mathcal{S}_\chi(V) $。
• 它利用同构 $ \mathcal{S}_\chi(V\setminus\{0\}) \cong \mathrm{Ind}_{P(v_0)}^{GL(V)} \chi \otimes 1 $，将该空间识别为退化标准系列。
• 分类依赖于 $ \mathrm{Ind}_{P}^{GL(V)}(\chi \otimes 1) $ 的结构，该表示不可约，除非 χ 属于 $ \mathrm{C}^+(n) \cup \mathrm{C}^-(n) $，其中 $ \mathrm{C}_F $ 是 F 到 ℂ 的嵌入生成的幺半群。
• 证明使用了正合序列和对偶性，分析 $ \mathrm{j}_\chi $ 的核与余核，从而实现对表示结构的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 χ-不变温和分布空间在 V 上作为 GL(V)-表示不可约时？
• RQ2 当 χ 属于 $ \mathrm{C}^+(n) \cup \mathrm{C}^-(n) $ 时，表示 $ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ 的结构如何？
• RQ3 GL(V) 作用在 $ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ 上的分解如何用退化标准系列表示描述？
• RQ4 字符 χ 在决定 $ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ 的长度和不可约性方面起什么作用？
• RQ5 $ \mathcal{S}_\chi(V) $ 与 $ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ 之间的对偶性如何与余不变空间的结构相关？

主要发现

• 当 χ 不属于 $ \mathrm{C}^+(n) \cup \mathrm{C}^-(n) $ 时，空间 $ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ 作为 GL(V)-表示是不可约的，其中 $ \mathrm{C}_F $ 是 F 到 ℂ 的嵌入生成的幺半群。
• 当 χ ∈ $ \mathrm{C}^+(n) $ 时，空间 $ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ 是不可约的，但映射 $ \mathrm{j}_\chi $ 的核在退化标准系列中具有无限余维数。
• 当 χ ∈ $ \mathrm{C}^-(n) $ 时，空间 $ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ 的长度为 2，且包含唯一的不可约子表示。
• $ \mathrm{j}_\chi $ 的余核同构于有限维表示 $ \sigma_{V,\chi^{-1} \cdot |\cdot|_F^{-n/2}} $ 的对偶，该表示仅在 χ ∈ $ \mathrm{C}^-(n) $ 时非零。
• 表示 $ \mathcal{S}_\chi(V\setminus\{0\}) $ 同构于退化标准系列 $ \mathrm{Ind}_{P(v_0)}^{GL(V)} \chi \otimes 1 $，该表示不可约，除非 χ ∈ $ \mathrm{C}^+(n) \cup \mathrm{C}^-(n) $。
• 分类依赖于域 F：当 F = ℝ 时，$ \mathrm{C}_F $ 由恒等嵌入的幂构成；当 F = ℂ 时，包括恒等和复共轭的幂；当 F 非阿基米德时，$ \mathrm{C}_F = \{1\} $。