[论文解读] Homogeneous geodesics of left invariant Finsler metrics

Dariush Latifi|ArXiv.org|Nov 28, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用 4

一句话总结

该论文为李群上的左不变Finsler度量中的测地线向量建立了判据，从而实现了对齐性测地线的表征。它推导出左不变Randers度量为Berwald型的充要条件，并将齐性测地线与受限Finsler度量的临界点联系起来，证明了在一般条件下其存在性。

ABSTRACT

In this paper, we study the set of homogeneous geodesics of a leftinvariant Finsler metric on Lie groups. We first give a simple criterion that characterizes geodesic vectors. As an application, we study some geometric properties of bi-invariant Finsler metrics on Lie groups. In particular a necessary and sufficient condition that left-invariant Randers metrics are of Berwald type is given. Finally a correspondence of homogeneous geodesics to critical points of restricted Finsler metrics is given. Then results concerning the existence homogeneous geodesics are obtained.

研究动机与目标

• 为在李群上识别左不变Finsler度量中的测地线向量建立判据。
• 研究双不变Finsler度量的几何性质及其齐性测地线。
• 确定左不变Randers度量为Berwald型的必要且充分条件。
• 建立齐性测地线与受限Finsler度量临界点之间的对应关系。
• 证明左不变Finsler流形中齐性测地线的存在性。

提出的方法

• 使用拉回切丛上的Chern联络定义以参考向量为基准的协变导数，从而建立Finsler测地线方程的表述。
• 应用条件 $ D_T T = 0 $（参考向量为 $ T $）来表征Finsler测地线，确保Finsler速度参数化为常数。
• 推导出度量张量 $ g_y(u,v) = \frac{1}{2} \frac{\nabla^2}{\nabla s \nabla t} F^2(y + su + tv) \big|_{s=t=0} $，以表达Finsler度量的基本张量。
• 应用定理3.2，通过条件 $ g_y(y, [y,z]) = 0 $ 对所有 $ z \neq 0 $ 来识别测地线向量，将测地线向量与李代数结构联系起来。
• 使用表达式 $ g_y(u,v) = \tilde{a}(u,v) + \tilde{a}(X,u)\tilde{a}(X,v) + \text{包含 } \tilde{a}(y,y)^{-1/2} \text{ 的项} $ 计算Randers度量的基本张量。
• 将测地线向量条件约化为涉及结构常数 $ \beta, \beta, \beta $ 和 $ \beta $ 的代数方程组，从而在3维李群中实现显式分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在李群上，左不变Randers度量为Berwald型的必要且充分条件是什么？
• RQ2 如何利用李代数结构表征左不变Finsler度量中的测地线向量？
• RQ3 齐性测地线与受限Finsler度量的临界点之间存在何种关系？
• RQ4 在何种条件下，左不变Finsler度量会存在齐性测地线？
• RQ5 双不变Finsler度量的几何性质与其齐性测地线之间有何关联？

主要发现

• 左不变Randers度量为Berwald型当且仅当向量场 $ X $ 关于Riemann度量 $ \tilde{a} $ 平行，该结论由测地线向量条件导出。
• 对于具有结构常数 $ \beta = \beta = \beta $ 的单模3维李群，所有测地线向量均位于 $ \text{Span}\big\{ e_1 \big\} $，意味着仅存在一条齐性测地线。
• 在非单模3维李群中，若 $ \beta = 0 $，则测地线向量被限制在 $ \text{Span}(e_1, e_3) $；若 $ \beta \neq 0 $，则测地线向量位于 $ \text{Span}(e_1) \bigcup \text{Span}(e_3) \bigcup \text{Span}(\frac{\beta}{2}e_2 - e_3) $。
• 齐性测地线的集合与受限Finsler度量 $ F|_{\text{span}(y)} $ 的临界点之间存在双射关系，从而建立了变分表征。
• 每个李群上的左不变Finsler度量至少存在一条齐性测地线，该结果将Kowalski与Szenthe的结果推广到了Finsler情形。
• 条件 $ g_y(y, [y,z]) = 0 $ 对所有 $ z \neq 0 $ 成立，是 $ y $ 为测地线向量的必要且充分条件，为识别提供了实用判据。