[论文解读] Homogenisation in finite elasticity for composites with a high contrast in the vicinity of rigid-body motion

Mikhail Cherdantsev, Kirill Cherednichenko+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 3

一句话总结

该论文为具有高刚度对比度的周期性两组分复合材料在有限大变形下的均匀化构建了一个多尺度渐近框架，其中边界条件强制实现刚体运动。通过在刚体运动附近对硬相响应进行线性化，并利用 $\gamma$-收敛性，推导出具有双尺度展开的极限能量泛函，表明当 $\lambda_\varepsilon \sim 1$ 时，软相的梯度保持为一阶量级，且均匀化能量由缩放后能量密度的拟凸包络所控制。

ABSTRACT

We present a multiscale asymptotic framework for the analysis of the macroscopic behaviour of periodic two-material composites with high contrast in a finite-strain setting. Our derivation starts with the geometrically nonlinear description of a composite consisting of a stiff material matrix and soft, periodically distributed inclusions, where the contrast between the components is coupled with the period $\varepsilon.$ We assume that the deformation field is a rigid-body motion on some part of the boundary of the composite, and consider various loading regimes, which are controlled by an additional parameter $\lambda_\varepsilon.$ We show that for particular regimes the elastic displacements are small throughout the material as $\varepsilon o0$ and that the deformation gradients in the stiff material are situated in the vicinity of the rigid-body motion specified by the boundary condition. This allows to replace, in the homogenisation limit, the nonlinear material law of the stiff component by its linearised version. The behaviour of the deformation gradients on the soft component depends on the asymptotics of $\lambda_\varepsilon.$ In particular, in the case $\lambda_\varepsilon\sim1$ they are shown to be of order one, and the related contribution to the homogenised energy is expressed via the quasiconvex envelope of the original stored-energy density defined on suitably rescaled gradient fields. As a main result we derive, in the spirit of $\Gamma$-convergence, a limit energy functional and establish a precise two-scale expansion for minimising sequences.

研究动机与目标

• 建立周期性两相复合材料在高刚度对比度下有限变形时的宏观力学响应模型。
• 理解当边界条件使硬相接近刚体运动时，变形梯度的渐近行为。
• 在周期 $\varepsilon \to 0$ 的极限下，针对由 $\lambda_\varepsilon$ 控制的不同加载制度，推导出严格的均匀化能量泛函。
• 识别在何种条件下，可在均匀化极限中对硬相实现线性化，从而简化非线性材料定律。
• 表征软相在均匀化能量中的贡献，特别是当 $\lambda_\varepsilon \sim 1$ 时。

提出的方法

• 为具有周期性微观结构且刚度对比度按 $\varepsilon$ 缩放的两组分复合材料，建立几何非线性弹性问题的数学表述。
• 在边界部分施加强制实现刚体运动的边界条件，从而在极限下约束硬相的变形梯度保持在单位矩阵附近。
• 引入加载参数 $\lambda_\varepsilon$ 以控制外力大小及位移的渐近缩放。
• 在刚体运动附近对硬相的储能函数进行线性化，其合理性基于 $\varepsilon \to 0$ 时硬相中弹性位移的微小性。
• 应用 $\Gamma$-收敛技术推导极限能量泛函，其中极小化序列的双尺度展开同时包含宏观与微观变形场。
• 通过缩放后储能密度的拟凸包络表达软相的均匀化能量，以反映梯度的渐近缩放。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，硬相的变形在均匀化极限下保持接近刚体运动？
• RQ2 缩放参数 $\lambda_\varepsilon$ 如何影响软相变形梯度的渐近行为？
• RQ3 能否在均匀化极限中用线性化版本替代硬相的非线性材料定律？在何种条件下可行？
• RQ4 当 $\lambda_\varepsilon \sim 1$ 时，复合材料的极限能量泛函的精确形式是什么？
• RQ5 在高对比度有限应变均匀化背景下，如何严格推导极小化序列的双尺度展开？

主要发现

• 在由 $\lambda_\varepsilon$ 控制的特定加载制度下，硬相中的弹性位移随 $\varepsilon \to 0$ 而消失，从而为线性化其材料定律提供了依据。
• 硬相的变形梯度保持在刚体运动附近，确保了在均匀化极限下线性近似的有效性。
• 当 $\lambda_\varepsilon \sim 1$ 时，软相的梯度为一阶量级，其对均匀化能量的贡献由缩放后储能密度的拟凸包络所捕获。
• 建立了极小化序列的精确双尺度展开，将极限状态下的宏观与微观变形场联系起来。
• 通过 $\Gamma$-收敛性推导出极限能量泛函，为高对比度复合材料在有限应变下的行为提供了严格的渐近模型。
• 该框架使得在均匀化极限中，可将硬相的完整非线性响应替换为线性化版本，从而显著简化分析。