[论文解读] Homogenization and asymptotics for small transaction costs: the multidimensional case

Dylan Possamaï, H. Meté Soner+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用 4

一句话总结

该论文通过粘性解与均质化技术，为具有小比例交易成本的多维无限时域最优消费-投资问题建立了渐近展开。证明了奇异遍历控制问题的校正解存在性，并推导出一阶校正项，该部分通过一组在高维下无显式解的校正方程表征。

ABSTRACT

In the context of the multi-dimensional infinite horizon optimal consumption-investment problem with proportional transaction costs, we provide the first order expansion in small transact costs. Similar to the one-dimensional derivation in our accompanying paper [42], the asymptotic expansion is expressed in terms of a singular ergodic control problem, and our arguments are based on the theory of viscosity solutions, and the techniques of homogenization which leads to a system of corrector equations. In contrast with the one-dimensional case, no explicit solution of the first corrector equation is available anymore. Finally, we provide some numerical results which illustrate the structure of the first order optimal controls.

研究动机与目标

• 将小交易成本的一维渐近分析扩展至多维情形。
• 表征小交易成本下值函数展开中的一阶校正项。
• 建立高维奇异遍历控制问题中校正解的存在性与正则性。
• 发展一种均质化框架，其中快变量源自极限问题，而非初始振荡。
• 为多维情形下最优交易策略的结构提供数值证据。

提出的方法

• 应用 Evans 的粘性解方法进行均质化，结合 Barles 与 Perthame 的松弛极限技术。
• 采用变量变换，引入依赖于极限问题最优策略的快变量，而非预先定义振荡项。
• 推导出与奇异遍历控制问题相关的校正方程组，类似于单调跟踪者问题。
• 利用 Hynd（2013, 2014）的最新结果，建立特征值问题解的存在性与 $C^{1,1}$ 正则性。
• 应用比较原理与下卷积技术分析自由边界与二阶正则性。
• 利用一致的 $C^{1,1}$ 估计与紧致性论证，实现极限过程并构造渐近情形下的校正器。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何严格推导具有小交易成本的多维最优消费-投资问题的渐近展开？
• RQ2 在多只风险资产与比例交易成本并存时，一阶校正项的结构是什么？
• RQ3 能否为多维情形下出现的奇异遍历控制问题构造出校正解？
• RQ4 当快变量未预先指定而由极限问题结构自然产生时，均质化框架如何适应？
• RQ5 在渐近情形下，值函数及其二阶导数的正则性特征是什么？

主要发现

• 渐近展开中的一阶校正项由均质化过程产生的奇异遍历控制问题表征。
• 即使在高维下无显式解，校正方程仍存在唯一的 $C^{1,1}$ 解，并满足精确的生长条件。
• 校正函数的二阶导数几乎处处有界，且在有效区域的补集上几乎处处为零。
• 值函数的二阶正则性在小成本极限下保持一致，支持在 $C^1_{ ext{loc}}$ 中收敛。
• 数值结果表明，一阶最优控制呈现分段线性结构，与理论框架一致。
• 该均质化框架成功处理了非周期性、非振荡的快变量，这些变量源自极限问题的结构。