[论文解读] Homogenization and Non-Homogenization of certain Non-Convex Hamilton-Jacobi Equations

William M. Feldman, Panagiotis E. Souganidis|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文确立了在随机介质中非凸HJ方程发生或不发生均质化的条件。它识别出两类：具有严格鞍点的哈密顿量无法均质化，而具有一致严格星形子集的哈密顿量则可以均质化，从而将先前关于有限范围依赖下齐次哈密顿量的结果推广至更广范围。

ABSTRACT

We continue the study of the homogenization of coercive non-convex Hamilton-Jacobi equations in random media identifying two general classes of Hamiltonians with very distinct behavior. For the first class there is no homogenization in a particular environment while for the second homogenization takes place in environments with finite range dependence. Motivated by the recent counter-example of Ziliotto, who constructed a coercive but non-convex Hamilton-Jacobi equation with stationary ergodic random potential field for which homogenization does not hold, we show that same happens for coercive Hamiltonians which have a strict saddle-point, a very local property. We also identify, based on the recent work of Armstrong and Cardaliaguet on the homogenization of positively homogeneous random Hamiltonians in environments with finite range dependence, a new general class Hamiltonians, namely equations with uniformly strictly star-shaped sub-level sets, which homogenize.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：在随机介质中，强制性非凸HJ方程是否能实现均质化？
• 识别决定均质化是否发生或失败的哈密顿量结构条件。
• 将均质化理论从凸和正齐次情形扩展到更广泛的非凸哈密顿量类别。
• 分析局部几何特征（如严格鞍点）在阻碍均质化中的作用。
• 为一类具有统一严格星形子集的哈密顿量建立新的均质化结果，推广先前关于齐次哈密顿量的研究。

提出的方法

• 通过在梯度变量中定义正交子空间（函数在一点附近在一个子空间减小而在另一子空间增大）来引入哈密顿量中严格鞍点的概念。
• 构造一个反例，使用具有严格鞍点的强制哈密顿量和平稳遍历的随机势场，通过解在极限下确界与上确界处的振荡行为，证明非均质化。
• 将Armstrong与Cardaliaguet（2016）关于正齐次哈密顿量均质化的技术推广至具有星形子集的更广类别。
• 通过度量问题定义有效哈密顿量，并利用平面度量结构推导有效哈密顿量收敛速率的定量估计。
• 建立几乎可加性，并利用二进制缩放推导校正问题收敛性的矩界。
• 使用权函数 $ Z(x,t) = \exp(-\lambda m^1(x)) + \exp(-\lambda t) $ 构造一个次解，以验证均质化极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 非凸HJ方程在随机介质中能否实现均质化？哈密顿量的何种结构条件决定这一结果？
• RQ2 即使在强制性条件下，哈密顿量中存在严格鞍点是否仍会阻止均质化？
• RQ3 正齐次哈密顿量的均质化结果能否推广至更广范围的非凸哈密顿量？
• RQ4 哈密顿量子集的何种几何性质可在有限范围依赖下确保均质化？
• RQ5 有效哈密顿量 $ \overline{H} $ 如何从原始哈密顿量 $ H $ 继承星形性与正则性？

主要发现

• 在 $ \xi_0 $ 处具有严格鞍点的哈密顿量无法实现均质化：对于线性初值 $ u_0(x) = \xi_0 \cdot x $，几乎必然有 $ \liminf_{\varepsilon \to 0} u^\varepsilon(0,t) < \limsup_{\varepsilon \to 0} u^\varepsilon(0,t) $。
• 即使不假设 $ Dh(\xi_0) = 0 $，该非均质化结果依然成立，只要哈密顿量是时空平稳且遍历的。
• 对于具有统一严格星形子集的哈密顿量，在随机环境的有限范围依赖下，均质化成立。
• 有效哈密顿量 $ \overline{H} $ 继承星形性：对满足 $ \overline{H}(\xi) > 0 $ 的 $ \xi \neq 0 $，径向导数满足 $ \frac{\xi}{|\xi|} \cdot D_\xi \overline{H}(\xi) \geq c(\overline{\mu}) \overline{H}(\xi) \omega(\overline{H}(\xi)) $。
• 有效哈密顿量 $ \delta v^\delta(0,\xi) $ 收敛到 $ \overline{H}(\xi) $ 的收敛速率被量化：$ \mathbb{P}(|\delta v^\delta(0,\xi) + \overline{H}(\xi)| > \lambda \omega'(\delta |\log \delta|)) \leq C \exp(-c \lambda^{4 \wedge d}) $。
• 有效哈密顿量 $ \overline{H}(\xi) $ 定义为 $ \inf\{ \mu > 0 : \overline{r}_\mu(\xi/|\xi|) \geq |\xi| \} $，将其与度量问题的解联系起来。