[论文解读] Homogenization of a class of one-dimensional nonconvex viscous Hamilton-Jacobi equations with random potential

Elena Kosygina, Atilla Yilmaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 49被引用 9

一句话总结

本文研究了一维黏性哈密顿-雅可比方程在随机势场驱动下、哈密顿函数非凸时的均匀化问题。通过布朗运动在随机势场中指数矩的控制理论解释，本文将有效哈密顿函数识别为这些矩的渐近增长速率，明确关联于底层扩散过程的倾斜自由能。关键结果是：在几乎必然意义下，具有线性初值的解实现了均匀化，将均匀化理论扩展至一维非凸、随机情形。

ABSTRACT

We prove the homogenization of a class of one-dimensional viscous Hamilton-Jacobi equations with random Hamiltonians that are nonconvex in the gradient variable. Due to the special form of the Hamiltonians, the solutions of these PDEs with linear initial conditions have representations involving exponential expectations of controlled Brownian motion in a random potential. The effective Hamiltonian is the asymptotic rate of growth of these exponential expectations as time goes to infinity and is explicit in terms of the tilted free energy of (uncontrolled) Brownian motion in a random potential. The proof involves large deviations, construction of correctors which lead to exponential martingales, and identification of asymptotically optimal policies.

研究动机与目标

• 建立一维黏性哈密顿-雅可比方程在非凸、随机哈密顿函数下的均匀化理论。
• 将有效哈密顿函数表征为随机势场中布朗运动指数矩的渐近增长速率。
• 通过引入涉及指数鞅与校正项的控制理论框架，将均匀化理论从凸哈密顿函数推广至非凸情形。
• 在势场满足一般遍历性、类似混合条件的假设下，证明解几乎必然收敛至均匀化极限。

提出的方法

• 通过Hopf-Cole变换，将PDE的解表示为随机势场中受控布朗运动的指数矩。
• 利用大偏差理论与倾斜自由能理论，分析这些指数矩的渐近行为。
• 构造校正项以生成指数鞅，从而识别渐近最优的控制策略。
• 利用势场的遍历性与路径正则性，确保黏性解的存在性与唯一性。
• 应用隐函数定理与控制收敛定理，证明有效哈密顿函数的可微性与连续性。
• 结合控制表示与黏性解理论，建立在均匀化极限下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在随机势场的情况下，能否为非凸哈密顿函数的黏性哈密顿-雅可比方程建立均匀化？
• RQ2 在非凸、随机设定下，有效哈密顿函数是什么？它与势场的统计性质有何关联？
• RQ3 布朗运动在随机势场中指数矩的渐近行为如何决定均匀化动力学？
• RQ4 在何种势场条件下，PDE的解会以几乎必然方式收敛至均匀化解？
• RQ5 有效哈密顿函数是否连续可微？它如何依赖于哈密顿函数与势场的参数？

主要发现

• 有效哈密顿函数 Hβ,c(θ) 明确定义为布朗运动在势场 βV 中的倾斜自由能，虽无显式表达式，但可通过过程的分布律明确定义。
• 对几乎所有实现 ω，解 uεθ(t,x,ω) 满足当 ε→0 时，几乎必然地一致收敛于 Hβ,c(θ)t + θx，且在 (t,x) 的紧集上成立。
• 通过收敛结果的推广，均匀化极限对所有初值 g∈UC(R) 成立，而不仅限于线性初值。
• 在 Λβ(θ)>β 的集合上，有效哈密顿函数关于 θ 连续可微，且具有对称性：Λβ(−θ)=Λβ(θ)，其中 Λβ(0)=β。
• 指数矩的渐近增长速率可表征为受控扩散过程的下确界，当 c>0 时，最优控制为bang-bang型。
• 证明依赖于校正项的构造以及指数鞅的应用，以在随机控制表示中识别渐近最优策略。